230问答网 > 已知函数f（x）=（x 3 +3x 2 +ax+b）e -x ．（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（-∞，

已知函数f（x）=（x 3 +3x 2 +ax+b）e -x ．（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（-∞，

2025-01-08 16:49:02

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回答1：

（Ⅰ）当a=b=-3时，f（x）=（x³ +3x² -3x-3）e^-x ，
故f′（x）=-（x³ +3x² -3x-3）e^-x +（3x² +6x-3）e^-x =-e^-x （x^-3 -9x）=-x（x-3）（x+3）e^-x
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调增加，在（-3，0），（3，+∞）单调减少；
（Ⅱ）f′（x）=-（x³ +3x² +ax+b）e^-x +（3x² +6x+a）e^-x =-e^-x [x³ +（a-6）x+b-a]．
由条件得：f′（2）=0，即2³ +2（a-6）+b-a=0，故b=4-a，
从而f′（x）=-e^-x [x³ +（a-6）x+4-2a]．
因为f′（α）=f′（β）=0，
所以x³ +（a-6）x+4-2a=（x-2）（x-α）（x-β）=（x-2）（x² -（α+β）x+αβ）．
将右边展开，与左边比较系数得，α+β=-2，αβ=a-2．
故 β-α=

(β+α) 2 -4αβ

12-4a

．，
又（β-2）（α-2）＜0，即αβ-2（α+β）+4＜0．由此可得a＜-6．
于是β-α＞6．