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设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,求a值

具体过程

2025-01-02 07:56:07

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回答1：

（1）a=0时，-3x+1≥0，当x=1时，-3x+1=-2<0，所以-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0
即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
（3）a>0时，
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，
①x=0时，1≥0成立
②0令g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=（3x^3-(3x-1)�6�13x^2）/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)
易知0所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4
③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3)
g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1∴a≤4
由②知a≥4 ∴a=4.
综上知a=4.