高数中收敛数列的有界性，应该是小于M啊！！！

楼主，我把我夹层里的答案一起粘过来给你看，免得你看起来因为顺序的原因，造成不便。

楼主没搞明白极限的定义，进入了一个死胡同。而且你上面的表达式错了，掉了几个绝对值号。极限的范围是定义在一个足够小的开区间内，从数轴上看有左趋近和右趋近。楼主你只考虑了正数，没有考虑负数。举个例子，如数列：-2,-1又10分之1，-1又100分之1，-1又1000分之1.....毫无疑问，此极限为-1。那么你上面的A就等于-1，而最重要的是你忘了有绝对值符号，书上定义的是| Xn|≤M，则有界，而书上的那个例子去的最大值M也是取的每个项的最大绝对值。我上面举得那个例子可以使得| Xn|取到M。以我上面举得例子可得，当e取足够小的正数时（极限定义），而e+|A|=e + |（-1）|=M显然大于1，而Xn因为是趋向于-1的任意小于-1的负数（显然每个项你可以无限举例下去），很明显，你可以举出一个| Xn|恰好等于e+|（-1）|。例如，使e等于10分之1，恰好我举得数列中，第二项 X2的绝对值| X2|=1又10分之1等于M，所以等于号不能去掉，是有可能取到的。楼主要明白极限定义的范围是在一个极其小的开区间（而且无论此区间有多么小，都能找到一个N，当n>N时，所有项皆在此开区间内）。

楼主学习高等数学，首先应该抓些“低等”数学。书上的定义非常重要，所有的题目从定义出发，都可以迎刃而解。而最可怕的就是，以为自己了解了定义的内容，看两遍定义就去做题。其实所有的题目都是为了让你更加了解定义的内容，而所有的题目也都是从定义出发，如果没有定义为前提，那些题目还能出出来给人做么？不仅仅是高数，所有的教材都要首先抓住定义。这就是人们常说的“基础”，但这种最重要的基础常常被人们忽略，因为“简单”嘛。但是，真有大家认为的简单么？这种表相迷惑了太多无知人的眼睛。

虽然问题有点久远了,但是看到了之后也想了很久.觉得有两种解释
有错之处希望以后看到的人能指正
1:证明那里需要证明的是数列xn有界.则需要证明xxn<=M即可,<=只证明了<也不能算错,但是总觉得有点别扭
2:回到数列极限定义当n>N时,才必定有|xn-a|<ε.而n=N或者n再看后面取M=max{|x1|,|x2|,...,|xN|,1+|a|}可知,前面N项是有可能大于1+|a|的.因此当M=前面N项时,xn是可以取到M的.而当M=1+|a|时,是取不到的.所以对于全体{xn}而言.有|xn|<=M

可能数列或函数极限就是M，比方说数列1/n，当N趋于无穷大时，1/N是等于零的。

≤这个符号是指小于或等于，所以≤是对的，至于<，我认为也正确，只不过教科书上的不算错