简易程序只是民事审判相对于普通程序的一个简化，针对的是权利义务关系明确的案子，要在三个月内审结，只是简化了一些时间上的规定，而其他的一些程序性事项是不会简化的。所以，对于提出新证据，增加诉讼请求的当事人的诉讼权利是不会简化了的。
立案的时候，法院会给你举证通知书，上面会写明各项举证期限， 比如如果增加诉讼请求期限如何，如何提证据期限如何；法院有一定自由裁量权；具体查询《民事诉讼法》和证据规则。
可以。这些都是当事人的正当诉讼权利，法院必须保障当事人依法行使这些诉讼权利。
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