∫(上限ln2下限0)e^x(1+e^x)^2dx

2025-01-06 03:22:28

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回答1：

楼主，答案是错误的，你作对了。
答案错在：
∫(上限ln2，下限0)(e^x)(1＋e^x)dx＝∫(上限2，下限1)[(
1+t)^2]dt
在这里，不应该是∫(上限2，下限1)[(
1+t)^2]dt，而应该是：
∫(上限2，下限1)(
1+t)dt=[(
1+t)^2]/2|(上限2，下限1)=9/2-2=5/2

回答2：

约定：∫[a,b]
表示求[a,b]区间上的定积分。
第一题:
原式=∫[0,ln2]e^x(1+e^x)^2dx
=∫[0,ln2](1+e^x)^2d(1+e^x)
=(1/3)(1+e^x)^3|[0,ln2]
=(1/3)((1+e^(ln2))^3-(1+e^0)^3)
=19/3
第二题:
因x∈[0,1]时，x≥x^2
且仅当x=0或x=1时取“=”
得x∈[0,1]时，e^x≥e^(x^2)
且仅当x=0或x=1时取“=”
由定积分的意义得：
∫[0,1]e^xdx>∫[0,1]e^(x^2)dx
希望对你有点帮助！