admit doing sth.是固定搭配，承认做过某事。
还有一个就是admit后面加that从句：承认做过了某事。having made 已经牵扯到了助动词have ,已经和 made 构成了谓语，所以它需要的是个主语来构成一个句子。所以，应该是he will never admit that he had made a mistake.英语中是不能用这种谓语结构来做动词的宾语的。所以只能是第一种， admit making.
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