【数学问题】已知不等式(a^2-1)x^2-(a-1)-1<0对一切实数恒成立，求实数a的取值范围。

详细过程都在图里，都住自己点击看吧

含参不等式一般注意点有个：Δ，对称轴和端点值。希望对楼主有所帮助。

数学在于勤学苦练，楼主好好努力吧

话说回来，20分有点不太厚道啊，= =！

1.解：
若a^2-1=0
则a=±1
a=1,不等式是-1<0,恒成立，所以a可以等于1
a=-1,不等式是2x-1<0,不是恒成立

若a^2-1不等于0
则这时二次不等式
一个二次函数恒小于0
则开口向下且判别式小于0
所以a^2-1<0,-1[-(a-1)]^2+4(a^2-1)<0
a^2-2a+1+4a^2-4<0
5a^2-2a-3<0
(a-1)(5a+3)<0
-3/5所以-3/5
综上
-3/5

(1)若a^2-1=0
则a=±1
a=1,不等式是-1<0,恒成立，所以a可以等于1
a=-1,不等式是2x-1<0,不是恒成立，故a=-1。

若a^2-1不等于0
则这时二次不等式
对应的二次函数恒小于0
则开口向下且判别式小于0
所以a^2-1<0,-1[-(a-1)]^2+4(a^2-1)<0
a^2-2a+1+4a^2-4<0
5a^2-2a-3<0
(a-1)(5a+3)<0
-3/5所以-3/5
综上所述
-3/5

1）
(a^2-1)x^2-(a-1)-1＜0
(a^2-1)x^2-a＜0
(a-1)(a+1)x^2-a＜0
a＞1时，x^2＜a/(a^2-1),不等式不是恒成立;
a=1时，不等式为-1＜0，不等式恒成立;
-1＜a＜1时，x^2＞a/(a^2-1),所以a/(a^2-1)＜0,0＜a＜1
a＜-1时，x^2＜a/(a^2-1),只要a^2-1＞0，所以a＜-1；
a=-1时，不等式为-a＜0，不等式不成立;

综上所述0＜a≤1或a＜-1。

2）
1.
f(x)=-3x^2+a(6-a)x+b
=-3{x^2-[a(6-a)/3]x}+b
=-3[x-a(6-a)/6]^2+[a(6-a)/6]^2+b
＞0
[x-a(6-a)/6]^2＜{[a(6-a)/6]^2+b}/3
-√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3＜x-a(6-a)/6＜√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3
a(6-a)/6-√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3＜x＜a(6-a)/6+√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3
a(6-a)/6-√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3=1
a(6-a)/6+√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3=2

√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3=a(6-a)/6-1
√{[a(6-a)/6]^2+b}/√3=2-a(6-a)/6

a(6-a)/6=3/2
√[(9/4)+b]/√3=1/2

a^2-6a+9=0
(9/4)+b=3/4

a=3
b=-3/2;

2.
f(x)=-3x^2+a(6-a)x+b
=-3x^2+a(6-a)x+3
=0
设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0
令y=x-1,y1=x1-1＜0,y2=x2-1＞0,
y1*y2＜0
f(y)=-3(y+1)^2+a(6-a)(y+1)+3
=-3y^2-6y-3+a(6-a)y+a(6-a)+3
=-3y^2-[6-a(6-a)]y+a(6-a)
=0
y1+y2=-[6-a(6-a)]/3
y1*y2=-a(6-a)/3＜0
a^2-6a＜0
(a-6)a＜0
0＜a＜6;

3） 3x^2+mx-m＜0
3[x^2+(m/3)x]-m＜0
3[x+(m/6)]^2-3*(m/6)^2-m＜0
[x+(m/6)]^2＜(1/36)m^2+m/3
要求(1/36)m^2+m/3＞0
m^2+12m＞0
(m+12)m＞0
m＜-12,或m＞0;

√[(1/36)m^2+m/3]＜x+(m/6)＜√[(1/36)m^2+m/3]

√[(1/36)m^2+m/3]-m/6＜x＜√[(1/36)m^2+m/3]-m/6 ，（m＜-12,或m＞0）。

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