请问欧拉是如何算出来的？

虽然我不知道这个问题的答案,但是我知道……
欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

应该是按加减乘除的方式和起来一起来算的吧.

三、黎曼ζ函数与白努利函数
黎曼ζ函数与白努利函数有密切关联，当 为偶数时， 之值亦可由白努利数求得。白努利函数 及白努利数 之定义如下

(22)
(23)
换言之，白努利数 系 s 等於零时之白努利函数值
(24)
例如
(25)
(26)

将方程式(23)连续微分得

(27)

又经由一些简单的运算可导出下列递推关系式 (recursion relations)

(28)

(29)
上式中

(30)

由方程式(27)即可求得 。 将此二值代入方程式(27)，即可看出 。 当 为已知时，利用递推关系式很容易求得 之值。例如用 代入方程式(29)得

, 故 (31)
再令 代入得

, 故 (32)

经由复变函数理论之解析延续 (analytic continuation)， 由方程式(23)吾人得到下列泰勒级数

(33)

故

(34)

上式中之 系依反时针方向绕著原点之封闭路径，且 。将积分路径变形并利用余数定理 (theorem of residues) 即可得到当 时

(s odd) (35)

(s even) (36)
因此当 为偶数时，我们得到柏努立数与黎曼ζ函数之关系如下

(37)

此关系式系由数学家欧拉 (Euler) 所发现。由此式很明显可看出当 ， 。白努利数经常出现在数论 (number theory) 当中。且有一个数论方面的定理说

(38)

其中 为整数， 为质数。
例如 (39)

在许多超越函数的无穷级数展开都会用到白努利数。我们的目的则在利用方程式(37)求出黎曼ζ函数之值，例如将 代入即得 。
四、费米子能量密度之计算
一旦玻子能量密度之公式已知，费米子之能量密度可用下述之技巧快速导出 。根据方程式(4)相对论性费米子之能量密度 ρ 可写为

(40)
其中 (41)

将 及 之积分式相减得

(42)

令 得 (43)
故 (44)
即 (相对论性费米子) (45)

方程式(44)很容易推广为

(46)

由此式可知当自旋自由度相同时，费米子数目密度等於玻子数目密度乘以 。
我们都知道早期宇宙之演化情形主要由各种相对论性粒子之能量密度及数目密度来决定，故将其公式整理如下:

(47)
(48)

其中能量密度公式之ζ(4)已用精确值 代入，而数目密度中之ζ(3)之近似值为 。
五、黎曼ζ函数与解析数论
黎曼函数ζ(s)在解析数论方面也扮演著一个很重要的角色，这是因为经由解析延续， 成为复变数 s 之复函数，而数论中质数的渐进分布则与黎曼ζ函数等於零的复数根有直接的关系。黎曼曾提出一个有名的猜想 (Riemann’s conjecture): 除了 -2,-4,…等实数根之外，所有黎曼ζ函数有意义的根(指复数根)均落在 之临界线上 (critical line)。黎曼猜想的证明十分困难, 1900 年在巴黎举行的第二届国际数学家会议，著名德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 提出23个重要而尚未解决的数学问题，他预测这些问题的研究将构成二十世纪数学的主流，希尔伯特所列的第八个问题就是黎曼猜想。可惜事隔一百年，黎曼猜想迄今仍未获得证明 。不过研究显示至少最前面十五亿个根都满足黎曼的猜想，也就是说它们均落在临界线上。黎曼ζ函数不仅在解析数论方面扮演著重要的角色，最近的研究更显示出此函数在临界线上根的分布情形和混沌理论 (chaos) 有密切的关联 。
提到黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866)，这位十九世纪出生在德国汉诺瓦之数学家，人们总会联想到他在数学上另外两大贡献: 他在 1851 年的博士论文 ”Foundations for a general theory of a complex variable” 中建立了复函数黎曼面 (Riemann surfaces) 之理论基础；及在 1854 年在哥廷根大学题为 “On the Hypothesis That Form the Foundations of Geometry” 的就职演讲，他建立了一门新数学即黎曼几何(Riemannian geometry)，此为后来爱因斯坦研究广义相对论时之数学基础 。可惜黎曼因得了肺病，英年早逝，否则其在数学上之贡献当不止於此。
参考资料 :
[1] E.W. Kolb and M.S. Turner, The Early Universe (Addison –Wesley, 1990).
[2] G.B. Arfken and H.J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Academic
Press, forth edition 1995).
[3] R.P.Feynman, R.B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics,
Vol. 1, Chap. 50, (Addison-Wesley, 1965).
[4] D.W. Sciama, Modern Cosmology and the Dark Matter Problem, (Cambridge University Press, 1993).
[5] R.N. Mohapatra and P.B. Pal, Massive Neutrinos in Physics and Astrophysics,
(World Scientific, 2nd edition 1998).
[6] LB. Boyer, A History of Mathematics, (Princeton University Press, 1985).
[7] C.W. Misner, K.S. Thorne, and J.A. Wheeler, Gravitation, (W.H. Freeman and Company, 1973).

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