如何复习数学推理

合情推理与演绎推理
典例精析
题型一　运用归纳推理发现一般性结论
【例1】 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.
左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右边.
【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”(周期性).
【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b＜c＋h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正确结论的序号是　　　　　　　；
进一步类比得到的一般结论是　　　　　　 　　　　　　　.
【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).
题型二　运用类比推理拓展新知识
【例2】 请用类比推理完成下表：
平面 空间
三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半 三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半
【解析】 本题由已知的前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三 角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.
由以上分析可知：

故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.
本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.
【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：
平面 空间
点 线
线 面
圆 球
三角形 三棱锥
角 二面角
面积 体积
周长 表面积
… …
【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离 为hi(i＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则 ＝　　　　；(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则 ＝　　　　　.
【解析】2Sk；3VK.
题型三　运用“三段论”进行演绎推理
【例3】已知函数f(x)＝ln ax－x－ax(a≠0).
(1)求此函数的单调区间及最值；
(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥ln enn！.
【解析】(1)由题意f′(x)＝x－ax2.
当a＞0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，无最大值.
当a＜0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，
此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，无最大值.
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝ln x－x－1x≥f(1)＝0，
故1x≥1－ln x＝ln ex，
取x＝1,2,3，…，n，则1＋12＋ 13＋…＋1n≥ln e＋ln e2＋…＋ln en＝ln enn！.
【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.
【变式训练3】已知函数f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx－1x＋1(e是自然对数的底数)，
(1)若对任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求满足条件的最大整数k的 值；
(2)求证：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*).
【解析】(1)由条件得到f(1)＜2⇒ ＜2⇒k＜2ln 2＋1＜3，猜测最大整数k＝2，
现在证明 ＜x＋1对任意x＞0恒成立：
＜x＋1等价于2－3x＋1＜ln(x＋1)⇔ln(x＋1)＋3x＋1＞2，
设h(x)＝ln(x＋1)＋3x＋1，则h′(x)＝1x＋1－3(x＋1)2＝x－2(x＋1)2.
故x∈(0,2)时，h′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.
所以对任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即 ＜x＋1对任意x＞0恒成立，
所以整数k的最大值为2.
(2)由(1)得到不等式2－3x＋1＜ln(x＋1)，
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n＋1)]＝2n－3[11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1＞2n－3，
所以原不等式成立.
总结提高
合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发；那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的 试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.

数学推理
推理是从一个或几个已知的判断得出一个新的判断的思维过程。其结构包括前提和结论两部分，已知的判断称为推理的前提，得出的新判断叫做推理的结论。正确的推理要求前提真实，要求运用符合形式逻辑的推理方式，遵守推理规则。

推理规则
推理规则就是正确的推理形式，遵守这些形式就能保证推理合乎逻辑。中学数学中常用的推理规则有：
规则1 若p∧q真，则p真；若p∧q真，则q真。即
（p∧q）→p；（p∧q）→q。
规则2 若p→q真，且p真，则q真。即（p→q）∧p→q。
规则3 若p→q真，且q→r真，则p→p→真。即（p→q）∧（q→r）→（p→r）
规则4 若（p∨q）真，且「p真，则q真。即（p∨q）∧「p→q。同样有：（p∨q）∧「q→p。
规则5 若（p→q）真，且「q真，则「p真。即（p→q）∧「q→「p。
规则6 若集合A中每一元素x，都有属性F，则集合A的任一非空子集B中的每个元素y也具有属性F。即
x∈A〔F（x）〕∧（AB≠ф）→y∈B〔F（y）〕。
这条规则是逻辑上的一条演绎推理规则，是作为公理提出来的。它保证了由全称命题真可以推出相应的特称命题真。
除了上述推理规则外，有些逻辑恒真命题也可作为推理规则使用。
二.推理的种类
根据不同的划分标准，推理可以分成许多种类。数学中常用的推理有归纳推理、类比推理和演绎推理。
1.归纳推理
归纳推理，又称归纳法，是由特殊到一般的推理，是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程。根据前提与结论所作判断的范围是否相同，归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法两种。
（1）完全归纳法
如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同，这种归纳推理叫做完全归纳法。它的表示形式是：
S1、S2、…Sn是A类事物中所有的对象，
S1具有（或不具有）P
S2具有（或不具有）P
………………………………
Sn具有（或不具有）P
A类事物具有（或不具有）P
例如，证明三角形三条高或其延长线共点，可以分别证明锐角、直角、钝角三角形三条高或其延长线共点，从而推出任意三角形三条高或其延长线共点的结论。
由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断，如果都是真实的，则所得的结论是完全可靠的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法。但是应用时，须注意前提的判断范围既不必重复，也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。
（2）不完全归纳法
如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断范围，这种归纳推理叫做不完全归纳法。其表示形式是：
S1、S2、…Sn是A类事物中部分的对象，
S1具有（或不具有）P
S2具有（或不具有）P
………………………………
Sn具有（或不具有）P
A类事物具有（或不具有）P
例如中学数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法。
必须注意，根据不完全归纳法推出的结论可能真，也可能假。因此，不完全归纳法不能作为数学上一种严格的推理方法使用，但是它在科学研究中可提出假设或猜想，在解题中便于发现规律，启发思维。教学中，为了说明某些定理、公式、性质的正确性，也往往借助于个别特殊的例子来说明，其实质就是用实例来进行验证，也可以认为是用不完全归纳法来进行推理的。
2.类比推理
类比推理是由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，断定它们在别的性质上也可能相同或相似。其表示形式是：
A类事物具有性质a、b、c、d
B类事物具有性质a、b、c
B类事物可能具有性质d
例如，由平面上线与线之间的关系推测空间中面与面之间的关系，就是类比推理。
类比推理所得出的结论未必真，它只有一定程度的可靠性。有些结论，还有待于实践和理论的证明。一般说来，如果两类事物共有的性质和推出的性质是密切相关的，那么结论就比较可靠。两类事物共有的性质越多，推出的结论的可靠程度就越大。
用类比推理所得结论，虽然不一定都真实，但类比推理对科学技术和数学本身的发展以及在数学教学中的作用却是很大的。数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的，数学本身赖以获得真理的主要手段就是归纳和类比。因此，类比推理仍不失为一种获取新知识的工具。
3.演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，即以某类事物的一般判断为前提，作出对这类事物的个别、特殊事物判断的思维形式。
演绎推理的前提与结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此，演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用。
演绎推理的形式多种多样，数学中运用最普遍的有三段论和关系推理，此外，还有选言推理、假言推理、联言推理等。
（1）三段论。三段论是由两个包含着一个共同项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理。它的理论根据是前面的规则6。简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现的。其表现形式为：
集合M中的元素具有（或不具有）P
x∈M
x也具有（或不具有）P
三段论的结构包括大前提——反映一般原理的判断，小前提——反映个别对象与一般原理联系的判断，以及结论三个判断。如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。
例如，∵平行四边形的对角相等（大前提），
四边形ABCD是平行四边形（小前提），
∴四边形ABCD的对角相等（结论）。
（2）关系推理。关系推理是根据对象间关系的逻辑联系（如对称、传递等）进行推演的推理形式。它的前提和结论都是关系判断。
设a、b、c表示对象，R表示关系（可表示数学中的“相等”、“大于”、“小于”、“平行”、“垂直”等关系）。那么，这两个对象之间的关系判断可以表示为“aRb”。
关系推理又可以分为直接关系推理和间接关系推理两类。
直接关系推理常见的有：
若关系R具有对称性，称为对称关系推理。即aRb=>bRa。例如，数学中的“相等”、“平行”、“垂直”等关系都具有对称性。因此，含有这些关系的判断都可以按上法推理。
若关系R具有反对称性，称为反对称关系推理。即aRb=>ba。例如，数学中的“大于”、“小于”、“整除”等关系都具有反对称性。因此，含有这些关系的判断都可以按上法推理。
间接关系推理常见的有：
若关系R具有传递性，可进行传递关系推理，即（aRb）∧（bRc）aRc。例如，数学中的“相等”、“平行”、“大于”、“小于”、“整除”等关系，都具有传递性。因此，含有这些关系的判断都可以进行这种推理。
若关系R具有反传递性，则可进行如下的反传递关系推理，即（aRb）∧（bRc）ac。数学中的“垂直”关系就不具有传递性，因此，对于垂直关系的判断，就应如下推理：
a⊥b，且b⊥ca并非垂直c。
最后，需要指出的是，在数学推理过程中，以及在数学发展过程中，演绎和归纳从来都不是孤立出现的，它们紧密交织在一起。通常是由归纳法得出原始概念和公理、建立假设和猜想，假设和猜想一经证明成立，就获得了定理、公式和性质这类一般规律，然后把所得的一般性判断作为大前提进行演绎推理，从而解决各类数学问题。
推理主要是两个方向一个是合情推理，一个是演绎推理。
合情推理中主要考察归纳推理和类比推理，归纳推理就考察三种题型：第一种就是找规律，第二种就是找周期，第三种就是算通项。
类比推理主要考察等差和等比之间的推理，平面和立体之间的推理。
演绎推理主要是考察三段论和新定义问题

推理主要是两个方向一个是合情推理，一个是演绎推理。
合情推理中主要考察归纳推理和类比推理，归纳推理就考察三种题型：第一种就是找规律，第二种就是找周期，第三种就是算通项。
类比推理主要考察等差和等比之间的推理，平面和立体之间的推理。
演绎推理主要是考察三段论和新定义问题

最重要的是理解。

数学推理
推理是从一个或几个已知的判断得出一个新的判断的思维过程。其结构包括前提和结论两部分，已知的判断称为推理的前提，得出的新判断叫做推理的结论。正确的推理要求前提真实，要求运用符合形式逻辑的推理方式，遵守推理规则。

推理规则
推理规则就是正确的推理形式，遵守这些形式就能保证推理合乎逻辑。中学数学中常用的推理规则有：
规则1 若p∧q真，则p真；若p∧q真，则q真。即
（p∧q）→p；（p∧q）→q。
规则2 若p→q真，且p真，则q真。即（p→q）∧p→q。
规则3 若p→q真，且q→r真，则p→p→真。即（p→q）∧（q→r）→（p→r）
规则4 若（p∨q）真，且「p真，则q真。即（p∨q）∧「p→q。同样有：（p∨q）∧「q→p。
规则5 若（p→q）真，且「q真，则「p真。即（p→q）∧「q→「p。
规则6 若集合A中每一元素x，都有属性F，则集合A的任一非空子集B中的每个元素y也具有属性F。即
x∈A〔F（x）〕∧（AB≠ф）→y∈B〔F（y）〕。
这条规则是逻辑上的一条演绎推理规则，是作为公理提出来的。它保证了由全称命题真可以推出相应的特称命题真。
除了上述推理规则外，有些逻辑恒真命题也可作为推理规则使用。
二.推理的种类
根据不同的划分标准，推理可以分成许多种类。数学中常用的推理有归纳推理、类比推理和演绎推理。
1.归纳推理
归纳推理，又称归纳法，是由特殊到一般的推理，是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程。根据前提与结论所作判断的范围是否相同，归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法两种。
（1）完全归纳法
如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同，这种归纳推理叫做完全归纳法。它的表示形式是：
S1、S2、…Sn是A类事物中所有的对象，
S1具有（或不具有）P
S2具有（或不具有）P
………………………………
Sn具有（或不具有）P
A类事物具有（或不具有）P
例如，证明三角形三条高或其延长线共点，可以分别证明锐角、直角、钝角三角形三条高或其延长线共点，从而推出任意三角形三条高或其延长线共点的结论。
由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断，如果都是真实的，则所得的结论是完全可靠的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法。但是应用时，须注意前提的判断范围既不必重复，也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。
（2）不完全归纳法
如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断范围，这种归纳推理叫做不完全归纳法。其表示形式是：
S1、S2、…Sn是A类事物中部分的对象，
S1具有（或不具有）P
S2具有（或不具有）P
………………………………
Sn具有（或不具有）P
A类事物具有（或不具有）P
例如中学数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法。
必须注意，根据不完全归纳法推出的结论可能真，也可能假。因此，不完全归纳法不能作为数学上一种严格的推理方法使用，但是它在科学研究中可提出假设或猜想，在解题中便于发现规律，启发思维。教学中，为了说明某些定理、公式、性质的正确性，也往往借助于个别特殊的例子来说明，其实质就是用实例来进行验证，也可以认为是用不完全归纳法来进行推理的。
2.类比推理
类比推理是由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，断定它们在别的性质上也可能相同或相似。其表示形式是：
A类事物具有性质a、b、c、d
B类事物具有性质a、b、c
B类事物可能具有性质d
例如，由平面上线与线之间的关系推测空间中面与面之间的关系，就是类比推理。
类比推理所得出的结论未必真，它只有一定程度的可靠性。有些结论，还有待于实践和理论的证明。一般说来，如果两类事物共有的性质和推出的性质是密切相关的，那么结论就比较可靠。两类事物共有的性质越多，推出的结论的可靠程度就越大。
用类比推理所得结论，虽然不一定都真实，但类比推理对科学技术和数学本身的发展以及在数学教学中的作用却是很大的。数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的，数学本身赖以获得真理的主要手段就是归纳和类比。因此，类比推理仍不失为一种获取新知识的工具。
3.演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，即以某类事物的一般判断为前提，作出对这类事物的个别、特殊事物判断的思维形式。
演绎推理的前提与结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此，演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用。
演绎推理的形式多种多样，数学中运用最普遍的有三段论和关系推理，此外，还有选言推理、假言推理、联言推理等。
（1）三段论。三段论是由两个包含着一个共同项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理。它的理论根据是前面的规则6。简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现的。其表现形式为：
集合M中的元素具有（或不具有）P
x∈M
x也具有（或不具有）P
三段论的结构包括大前提——反映一般原理的判断，小前提——反映个别对象与一般原理联系的判断，以及结论三个判断。如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。
例如，∵平行四边形的对角相等（大前提），
四边形ABCD是平行四边形（小前提），
∴四边形ABCD的对角相等（结论）。
（2）关系推理。关系推理是根据对象间关系的逻辑联系（如对称、传递等）进行推演的推理形式。它的前提和结论都是关系判断。
设a、b、c表示对象，R表示关系（可表示数学中的“相等”、“大于”、“小于”、“平行”、“垂直”等关系）。那么，这两个对象之间的关系判断可以表示为“aRb”。
关系推理又可以分为直接关系推理和间接关系推理两类。
直接关系推理常见的有：
若关系R具有对称性，称为对称关系推理。即aRb=>bRa。例如，数学中的“相等”、“平行”、“垂直”等关系都具有对称性。因此，含有这些关系的判断都可以按上法推理。
若关系R具有反对称性，称为反对称关系推理。即aRb=>ba。例如，数学中的“大于”、“小于”、“整除”等关系都具有反对称性。因此，含有这些关系的判断都可以按上法推理。
间接关系推理常见的有：
若关系R具有传递性，可进行传递关系推理，即（aRb）∧（bRc）aRc。例如，数学中的“相等”、“平行”、“大于”、“小于”、“整除”等关系，都具有传递性。因此，含有这些关系的判断都可以进行这种推理。
若关系R具有反传递性，则可进行如下的反传递关系推理，即（aRb）∧（bRc）ac。数学中的“垂直”关系就不具有传递性，因此，对于垂直关系的判断，就应如下推理：
a⊥b，且b⊥ca并非垂直c。
最后，需要指出的是，在数学推理过程中，以及在数学发展过程中，演绎和归纳从来都不是孤立出现的，它们紧密交织在一起。通常是由归纳法得出原始概念和公理、建立假设和猜想，假设和猜想一经证明成立，就获得了定理、公式和性质这类一般规律，然后把所得的一般性判断作为大前提进行演绎推理，从而解决各类数学问题。