结论本身就是错的,你下面的证明当然都是错的.
如果你要使得x→+∞时,xf(x)→0,那麼f(x)必然是一个无穷小,只有0*∞才有可能仍然为0.
但显然我举一个反例给你.∫{1,+∞}sinx²dx是收敛的,因为作换元t=x²,则x=√t,dx=dt/2√t
原式=∫{1,+∞}sintdt/2√t
由於f(t)=sint在[1,+∞)上连续,对任意u>1,在闭区间[1,u]上f(t)总是可积的.
於是令F(u)=∫{1,u}sintdt=-cosu-1,显然F(u)在[1,+∞)上有界
而g(t)=1/2√t在[1,+∞)上当t→+∞时单调趋於0,根据狄利克雷判别法,∫{1,+∞}sintdt/2√t收敛,即∫{1,+∞}sinx²dx收敛
但sinx²这个函数,当x→+∞时是无穷小吗不是,它在1和-1之间无限震荡,并没有极限.
如果这么推的话 条件要求∫(a,+∞)f(x)dx应该是绝对收敛而不是收敛吧
你的第一步就是错的, 完全没有依据, 也没有修复的可能
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