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如何证明|a+b|^2+|a-b|^2=2(|a|^2+|b|^2)

2024-12-12 14:51:56

推荐回答（3个）

回答1：

这个应该是在向量内积那块，因为|a|^2=a·a

|a+b|^2+|a-b|^2 = (a+b)·(a+b) + (a-b)·(a-b)
=a·a + 2a·b + b·b + a·a - 2a·b + b·b
=2(a·a + b·b)
=2(|a|^2+|b|^2)

这个的几何意义就是平行四边形的对角线的平方和等于四边平方之和

回答2：

|a+b|^2+|a-b|^2=(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)=2(|a|^2+|b|^2

注意这里用到了向量的数量积（内积）的运算性质：a^2=|a|*|a|cos0=|a|^2

这个内容肯定是在向量的数量积（内积）里学的，这个的几何意义就是平行四边形的对角线的平方和等于四边平方之和，还有其它证明方法。

回答3：

实际上，考虑到模值和数字平方的非负性，有|X|……2=X……2.令X=a+b得证。