丰台区2010年高三统一练习（二）
数学（理科）
一、选 择题（每小题5分，共40分）
1．已知向量 （1， ）， （ ，1），若 与 的夹角为 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
2．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（ ）
A．相切 B ．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离
3．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（-1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（ ）
A．（ ） B．（ ） C．（ ） D．（ ）
4．设p、q是简单命题，则 为假是 为假的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示
甲 茎 乙
7 7 8 6 8
8 6 2 9 3 6 7
设 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差， 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．已知函数 ，若 ，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设f(x)、g(x)是R上的可导函数， 分别是f(x)、g(x)的导函数，且 ，则当 时，有（ ）
A． f(x)g(x)>f(b)g(b) B． f(x)g(a)>f(a)g(x)
C． f(x)g(b)>f(b)g(x) D． f(x)g(x)>f(a) g(a)
8．如图，在直三棱柱 中， ， ，点G与E分别为线段 和 的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点。若 ，则线段DF长度的最小值是（ ）
A． B． 1 C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．执行右图所示的程序框图，输出结果y的值是_________.
10．如下图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，CD=4，AB=3BC，则AC的长是 。
11．椭圆 的焦点为 ,过F2垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那么|PF1|的值是 。
12．已知 。若向区域 上随机投 一点P,则点P落入区域A的概率是 。
13．如右图，在倾斜角150(∠CAD=150 )的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（BC），在A处测得塔顶B的仰角为450（∠BAD =450），则塔顶到水平面的距离（BD）约为 米（保留一位小数，如需要，取 )
14．对于各数互不相等的正数数组 （ 是不小于 的正整数），如果在 时有 ，则称“ 与 ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组 中有顺序“2，4”，“2，3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组 的“顺序数”是4，则 的“顺序数”是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（12分）已知函数f(x)= (其中A>0, )的图象如图所示。
（Ⅰ）求A，及的值；
（Ⅱ）若tan=2, ,求 的值。
16．（14分）在正四棱柱 中，E,F分别是 的中点，G为 上任一点，EC与底面ABCD所成角的正切值是4.
（Ⅰ）求证AG EF；
（Ⅱ）确定点G的位置，使AG 面CEF,并说明理由；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值。
17．（13分）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。
（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；
（Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为 ，求 的分布列。
18．（14分）已知函数 .
（Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）若f(x)在R上单调，求a的取值范围；
（Ⅲ）当 时，求函数f(x)的极小值。
19．（13分）已知数列 的前n项和为 ， ， ,等差数列 中 ，且 ，又 、 、 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
20．（13分）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 且不平行于x轴的动直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线在 、 两点处的切线交于点 ．
（Ⅰ ）求证： ， ， 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）设直线 交该抛物线于 ， 两点，求四边形 面积的最小值．
丰台区2010年高三统一练习（二）
数学（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B B C A C
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．1 ； 10．8 ； 11． ； 12． ； 13．40.5 ； 14．6.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（12分）已知函数f(x)= (其中A>0, )的图象如图所示。
（Ⅰ）求A，及的值；
（Ⅱ）若tan=2, ,求 的值。
解：（Ⅰ）由图知A=2, ……………………1分
T=2( )=,
∴=2, ……………………3分
∴f( x)=2sin(2x+)
又∵ =2sin( +)=2,
∴sin( +)=1,
∴ += ,= + ,(kZ)
∵ ,∴= ……………………6分
由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x+ )，
∴ =2sin(2+ )=2cos2=4cos2-2…………9分
∵tan=2, ∴sin=2cos,
又∵sin2+cos2=1, ∴cos2= ,
∴ = ……………………12分
16．（14分）在正四棱柱 中，E,F分别是 的中点，G为 上任一点，EC与底面ABCD所成角的正切值是4.
（Ⅰ）求证：AG EF；
（Ⅱ）确定点G的位置，使AG 面CEF,并说明理由；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值。
解：∵ 是正四棱柱
∴ABCD是正方形，设其边长为2a,ECD是EC与底面所成的角。而ECD=CEC1, ∴CC1=4EC1=4a.……………1分
以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的直角坐标系。
则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
A1(0,0,4a),B1(2a,0,4a),C1(2a,2a,4a),D1(0,2a,4a),
E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),设G(2a,2a,b)(0
∴AG EF ……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，使AG 面CEF，只需AG CE,
只需 =（2a,2a,b）（-a,0,4a）=-2a2+4ab=0,
∴b= a,即CG= CC1时，AG 面CEF。………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当G(2a,2a, a)时， 是平面CEF的一个法向量，
由题意可得， 是平面CEC1的一个法向量，
设二面角 的大小为，
则cos= = = ,
二面角 的余弦值为 . …………………………14分
（运用综合法相应给分）
17．（13分）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。
（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；
（Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为 ，求 的分布列。
解：（Ⅰ）设仅一次摸球中奖的 概率为P1,则P1= = ……………………3分
（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则
P2= ………………………………………………7分
（Ⅲ） 的取值可以是0，1，2，3
=(1- )3= ,
= = ,
= = = ,
= =
所以 的分布列如下表
0 1 2 3
P
………………………………………………………13分
18．（14分）已知函数 .
（Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）若f(x)在R上单调，求a的取值范围；
（Ⅲ）当 时，求函数f(x)的极小值。
解:
（Ⅰ）当a=0时， ,………………2分
, ,
∴函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),
即5ex-y-2e=0 …………………………………………………………4分
（Ⅱ） ,
考虑到 恒成立且 系数为正，
∴f(x)在R上单调等价于 恒成立.
∴(a+2)2-4(a+2)0,
∴-2a2 ， 即a 的取值范围是[-2，2]，……………………8分
（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（Ⅲ）当 时, ,
………………………………………………………………10分
令 ，得 ，或x，
令 ，得 ，或x，
令 ，得 ………………………………分
x, ,f(x)的变化情况如下表
X
1 )
+ 0 - 0 +
f(x)
极大值
极小值
所以，函数f(x)的极小值为f(1)= ……………………………………14分
19．（14分）已知数列 的前n项和为 ， ， ,等差数列 中， ，且 ，又 、 、 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ …………………………2分
而 ，∴
∴数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴ …………………………4分
∴ ，
在等差数列 中，∵ ，∴ 。
又因 、 、 成等比数列，设等差数列 的公差为d，
∴（ ） ………………………………6分
解得d=-10,或d=2, ∵ ，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b1=3,
∴bn=2n+1 ， ……… ………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
①
②………………10分
① -②得
……………12分
，
∴ ………………………………………………………………14分
20．（13分）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 且不平行于x轴的动直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线在 、 两点处的切线交于点 ．
（Ⅰ）求证： ， ， 三点的横坐 标成等差数列；
（Ⅱ）设直线 交该抛物线于 ， 两点，求四边形 面积的最小值．
解：（Ⅰ）由已知，得 ，显然直线 的斜率存在且不得0，
则可设直线 的方程为 （ ）， ， ，
由 消去 ，得 ，显然 .
所以 ， . ………………………………………………2分
由 ，得 ，所以 ，
所以，直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，又 ，
所以，直线 的方程为 ①。………………………………4分
同理，直线 的方程为 ②。………………………………5分
②-①并据 得点M的横坐标 ，
即 ， ， 三点的横坐标成等差数列。 …………… ……………………7分
（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）( )。
所以 ，
则直线MF的方程为 ， …………………………………………8分
设C(x3,y3),D(x4,y4)
由 消去 ，得 ，显然 ，
所以 ， 。 …………………………………………9分
又
。…………10分
。……………………11分
因为 ，所以 ，
所以， ，
当且 仅当 时，四边形 面积的取到最小值 。……………………13分
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