已知14（a的平方+b的平方+c的平方）=（a+2b+3c）的平方，求a,b,c的关系

将原等式展开得：
14a²+14b²+14c²=a²+4b²+9c²+4ab+6ac+12bc
将式子全部移到等式左边得：
13a²+10b²+5c²-4ab-6ac-12bc=0
根据完全平方公式得：
(2a-b)²+(3a-c)²+(3b-2c)²=0
显然各平方项均为0，所以括号内均为0，则
2a=b，3a=c，3b=2c。
写成比例关系有：
a：b：c=1：2：3
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的二倍。
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。

设14（a的平方+b的平方+c的平方）为①式，（a+2b+3c）的平方为②式。
把②拆开=a的平方+4b的平方+9c的平方+4ab+12bc+6ac，等式依然成立：①式=②式。
用①式-②式得：13a的平方+10b的平方+5c的平方-4ab-6ac-12bc=0为③式。
可以把13a的平方+10b的平方+5c的平方-4ab-6ac-12bc化为：（2a-b)的平方+（3a-c）的平方+(3b-2c）的平方=0
那么因为（2a-b)的平方、（3a-c）的平方和(3b-2c）的平方为非负数。
所以它们都为0。
所以
2a=b
3a=c
3b=2c
那么a:b:c=1:2:3 。
希望楼主给予采纳！

14a^2+14b^2+14c^2=a^2+4b^2+9c^2+4ab+6ac+12bc
13a^2+10b^2+5c^2-4ab-6ac-12bc=0
(2a-b)^2+(3a-c)^2+(3b-2c)^2=0
2a=b
3a=c
3b=2c
a:b:c=1:2:3