2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

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　　2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
　　第一试

　　一、填空题（本题满分56分，每小题8分）
　　1. 已知数列 的前 项和 ，则 ．
　　2. 若集合 为空集，则实数 的取值范围是 ．
　　3. 设 、 为实数， ，则二元函数 的最小值是 ．
　　4. 设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆交双曲线左支于 、 两点，且 . 双曲线的离心率的值介于整数 与 之间，则 ．
　　5. 已知长方体 的体积为 ，则四面体 与四面体 的重叠部分的体积等于 ．
　　6. 设 表示不大于 的最大整数，则 ．
　　7. 设方程 的根都是正数，且 ，则
　　的最大值是 ．
　　8. 的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格．

　　二、 解答题（本题满分14分）
　　求函数 的值域．

　　三、解答题（本题满分15分）
　　如图，抛物线 及点 ，过点 的不重合的直线 、 与此抛物线分别交于点 ，
　　， ， ．证明： ， ， ， 四点共圆的充要条件是直线 与 的倾斜角互补．

　　四、解答题（本题满分15分）
　　设 ， 是正数，且 ， ，求证： ．

　　2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试题
　　一、（本题满分50分）
　　如图，在△ 中， ‖ ，△ 的内切圆与 切于点 ，△ 的 边上的旁切圆切 于点 ，点 是 与 的交点，求证 、 、 三点共线.

　　二、（本题满分50分）
　　设 ， 为给定的整数， . 对任意 元的数集 ，作 的所有 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 ，集合 中元素个数是 ，求 的最大值.

　　三、（本题满分50分）
　　设 ， 是互不相同的正整数，求证：
　　.

　　四、（本题满分50分）
　　求满足下列条件的所有正整数 ， ：（1） 与 互素； （2） .