y"－2y✀+10y=0就这微分方程的通解

这个方程有两种方法，我说第一种；第二种在教科书里面可以查到
待定系数法：
y"-2y'+10y=0
化为：(y'-αy)'=β(y'-αy)，其中α、β为待定的系数
不难发现：α+β=2，αβ=10，解得：α=1+i√3，β=1-i√3
从而得：d(y'-αy)/(y'-αy)=βdx
积分得：y'-αy=A*e^{βx}，A为积分常数
在这一步令y=u*e^{βx}为上述方程的通解，代入化简可得
u'+(β-α)u=A
即u'+(β-α)[u-A/(β-α)]=0
令v=u-A/(β-α)可得：v'+(β-α)v=0
可得：dv/v=(α-β)dx
积分得：v=B*e^{(α-β)x}
带回可得：u=A/(β-α)+B*e^{(α-β)x}
带回可得：y=[A/(β-α)+B*e^{(α-β)x}]e^{βx}=B*e^{αx}+A/(β-α)*e^{βx}
不妨令C=A/(β-α)，则：y=B*e^{αx}+C*e^{βx}

由α=1+i√3，β=1-i√3代入可得：
y=B*e^{x}*e^{i√3x}+C*e^{x}*e^{-i√3x}=e^{x}[Be^{i√3x}+Ce^{-i√3x}]
=(1/2)e^{x}[(B+C+B-C)e^{i√3x}+[B+C-(B-C)]e^{-i√3x}]
=e^{x}[(B+C)(e^{i√3x}+e^{-i√3x})/2+(B-C)i(e^{i√3x}-e^{-i√3x})/2i]
=e^{x}[(B+C)cos√3x+i(B-C)sin√3x]
再令D=B+C，E=(B-C)i
从而得：y=e^{x}(Dcos√3x+Esin√3x)