如何证明拉格朗日中值定理

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 

易证明此函数在该区间满足条件: 

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导. 

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。

扩展资料：

几何意义

见下图：

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

向左转|向右转。

证明

在区间

 上任取两点

由拉格朗日中值定理得

由于已知

 即

因为

 是区间

 上的任意两点，所以

 在区间

 上的函数值总是相等的，

即函数在区间上是一个常数。

扩展资料：

推广

如果函数

 在开区间

 内可导且

 与

 都存在

令

 ，

则在开区间

辅助函数法证明：

已知f(x) 在[a,b]上连续，在开区间，(a,b)内可导，构造辅助函数。

可得g(a)=g(b)又因为g(x)

在[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，

所以根据罗尔定理可得必有一点

 使得

由此可得

变形得

定理证毕。

扩展资料：

拉格朗日中值定理有一个变形，即所谓的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，如果函数f(x)在（a,b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。

令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。

证明如下：

如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时,函数增量△y的准确表达式,因此本定理也叫有限增量定理.

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 

易证明此函数在该区间满足条件: 

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

几何意义

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

取F（x）=x,所以ψ（x）=f（x）-f（a）-{【f（b）-f（a）】/【F(b）-F（a）】}*【F(x）-F（a）】和F（x）=x在区间[a,b]内满足罗尔中值定理的条件,应用罗尔中值定理有：存在ξ∈（a,b）,使等式ψ‘（ξ）=0,即
【f（b）-f（a）】/【F(b）-F（a）】=f’（ξ）/F'（ξ）（柯西中值定理）,
又F(b）-F（a）=b-a,F'(x)=1,带入上式化简集合得到拉格朗日中值定理.