你问的应该是alternative to something的用法,
A is an alternative to B 意思是A是B的替代物(替代方案),
比如:The treatment is an alternative to surgery.
staying at home是动名词词组,相当于上面的something,所以no alternative to [staying at home]字面意思是, 没有替代方案可以替代待在家里, 也就是只能待在家里。
语法结构很简单, I主语,had 谓语动词,alternative宾语, to staying at home 介词词组作alternative的定语。
这里to是介词
在这里to是介词,其后用现在分词。