柯西不等式的证明全过程?

柯西不等式的证明全过程?
2024-12-23 08:16:43
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回答1:

柯西不等式可以简单地记做:平方和的积

积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.
如:两列数
0,1

2,3

(0^2
+
1^2)
*
(2^2
+
3^2)
=
26

(0*2
+
1*3)^2
=
9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式.
还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式.
我这里只给出前一种证法.
Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,bi,则有
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)

(∑ai
*
bi)^2.
我们令
f(x)
=
∑(ai
+
x
*
bi)^2
=
(∑bi^2)
*
x^2
+
2
*
(∑ai
*
bi)
*
x
+
(∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x)

0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
Δ
=
4
*
(∑ai
*
bi)^2
-
4
*
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)

0.
于是移项得到结论.
学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些.我们现在的证明只是其中的一个特例罢了.

回答2: