不定积分 1⼀(1+e^2x)

设t=e^(2x),x=(lnt)/2,dx=1/(2t) dt

∫dx/[1+e^(2x)]

= (1/2)∫dt/[t(1+t)]

= (1/2)∫[(1+t)-t]/[t(1+t)] dt

= (1/2)∫[1/t - 1/(1+t)] dt

= (1/2)[ln|t| - ln|1+t|] + C

= (1/2)[ln|e^(2x)| - ln|1+e^(2x)] + C

= x - (1/2)ln|1+e^(2x)| + C

函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。

参考资料来源：百度百科——不定积分

设t=e^(2x),x=(lnt)/2,dx=1/(2t) dt
∫dx/[1+e^(2x)]
= (1/2)∫dt/[t(1+t)]
= (1/2)∫[(1+t)-t]/[t(1+t)] dt
= (1/2)∫[1/t - 1/(1+t)] dt
= (1/2)[ln|t| - ln|1+t|] + C
= (1/2)[ln|e^(2x)| - ln|1+e^(2x)] + C
= x - (1/2)ln|1+e^(2x)| + C