解答：（Ⅰ）证明：∵a=1，∴f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=
-1=1 x+1
，?x x+1
∴当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0．
（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）-ax，∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
∴f′（x）=
-a=1 x+1
，(1?a)?ax x+1
∴①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（-1，+∞）单调递增；
②当a＞0时，x∈（-1，-1+
）上，f′（x）＞0，x∈（-1+1 a
，+∞），f′（x）＜0，1 a
∴f（x）在（-1，-1+
）单调递增，在（-1+1 a
，+∞）单调递减，1 a
（Ⅲ）证明：要证：（1+
）（1+1 2
）…（1+1 4
）＜e，两边取以e为底的对数，即只需证明1 2n
ln（1+
）+ln（1+1 2
）+…+ln（1+1 4
）＜1，1 2n
由（Ⅰ）可知，ln（x+1）＜x（x＞0），分别取x=
，1 2
，…，1 4
，得到1 2n
ln（1+
）＜1 2
，ln（1+1 2
）＜1 4
，…，ln（1+1 4
）＜1 2n
，1 2n
将上述n个不等式相加，得
ln（1+
）+ln（1+1 2
）+…+ln（1+1 4
）＜1 2n
+1 2
+…+1 4
=1-1 2n
＜1．1 2n
从而结论成立．
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