设向量组α1=（1，0，1）T，α2=（0，1，1）T，α3=（1，3，5）T不能由向量组β1=（1，1，1）T，

知识点: n个n维向量线性无关的充要条件是任一n维向量都可由它线性表示
分析: 由题意,β1,β2,β3线性相关, 即有R(β1,β2,β3)<3
解: 由已知, |β1,β2,β3|=a-5=0
所以 a=5

(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=
1 0 1 1 1 3
0 1 3 1 2 4
1 1 5 1 3 5

r3-r1-r2
1 0 1 1 1 3
0 1 3 1 2 4
0 0 1 -1 0 -2

r1-r3,r2-3r3
1 0 0 2 1 5
0 1 0 4 2 10
0 0 1 -1 0 -2

所以
β1=2α1+4α2-α3, β2=α1+2α2, β3=5α1+10α2-2α3

解: (α1,α2,α3,β1,β2,β3)=
1 1 1 1 2 2
0 1 -1 2 1 1
2 3 a+2 a+3 a+6 a+4

r3-2r1
1 1 1 1 2 2
0 1 -1 2 1 1
0 1 a a+1 a+2 a

r3-r2
1 1 1 1 2 2
0 1 -1 2 1 1
0 0 a+1 a-1 a+1 a-1

所以当a≠-1时,β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示.
(此时α组的秩为3, 所以要看看β组的秩是否也是3)

又因为 |β1,β2,β3|=
1 2 2
2 1 1
a+3 a+6 a+4

r1-2r2
-3 0 0
2 1 1
a+3 a+6 a+4

= 6 ≠ 0.
所以向量组(I)总可由(II)线性表示.所以 a≠-1时, 向量组(I)与(II)等价.