磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统．一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车

（1）题给的磁场B（x，t）随时间和空间的变化具有周期性，在某时刻t，磁场的空间分布为：
B（x，t）=B₀cos（ωt-kx）
在t+△t时刻，磁场的空间分布为：
B（x，t+△t）=B₀cos[（ω（t+△t）-kx）]=B₀cos[（ωt-k（x-

ω

k

△t）]
比较上面两式，不难看出，t和t+△t这两个时刻的磁场的空间分布规律是相同的，只是t时刻原位于（x-

ω

k

△t）处的磁场，经△t时间，在t+△t时刻，出现在x处．即整个磁场的分布经时间间隔△t沿x轴的正方向平移了一段距离为：
△x=x-（x-

ω

k

△t）
平移速度为：v₀=

△x

△t

=

ω

k

平移速度v₀为恒量．由此可见，题给出的磁场B（x，t）=B₀cos（ωt-kt）可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度v₀沿x轴的正方向平移．如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用．
由题已知，在时刻t，金属框移动的速度为v，金属框MN边位于坐标x处，PQ边位于坐标x+d处．设此时金属框的磁通为Φ（规定由纸内到纸外Φ为正）；经过一很短的时间间隔△t，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离v₀△t，金属框向x方向移动了一段距离v△t，其结果是：
MN边左侧穿过面积为（v₀-v）l△t的磁通B（x，t）（v₀-v）l△t移进了金属框，PQ边左侧穿过面积为（v₀-v）l△t的磁通B（x+d，t）（v₀-v）l△t移出了金属框，故在t+△t时刻，通过金属框的磁通为
  Φ′=Φ+B（x，t）（v₀-v）l△t-B（x+d，t）（v₀-v）l△t…①
在△t时间间隔内，通过金属框的磁通增量为：
△Φ=Φ′-Φ=[B（x，t）-B（x+d，t）]l（v₀-v）△t…②
规定框内的感应电动势E（t）沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，由电磁感应定律，可得t时刻的感应电动势：
E（t）=

△Φ

△t

…③
规定金属框内的感应电流i（t）沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，可得t时刻的感应电流为：
i（t）=

E

R

…④
磁场对于上下两边NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力为零．规定向右的力为正，则磁场作用于金属框MN边的安培力为 i（t）B（x，t）l；由于PQ边和MN边的电流方向相反，磁场作用于金属框PQ边的安培力为-i（t）B（x+d，t）l，故金属框的安培力的合力：
f（t）=i（t）B（x，t）l-i（t）B（x+d，t）l…⑤
由①②③④⑤式及题给定的磁场分布规律，得：
f（t）=

B l2( ω k ?v)

R

{cos（ωt-kx）-cos[（ωt-kx）-kd]}²…⑥
利用三角学公式，得：
f（t）=

4 B l2( ω k ?v)

R

sin2(

kd

2

)sin2[

2(ωt?kx)?kd

2

]=F₀sin2[(ωt?kx)?

kd

2

]… ⑦
F₀=

4 B l2(