230问答网 > 在三角形ABC中,已知a^2=b^2+c^2-2*b*c*SinA 和 b^2=a^2+c^2-2*a*c*SinB 同时满足

在三角形ABC中,已知a^2=b^2+c^2-2bcSinA 和 b^2=a^2+c^2-2acSinB 同时满足

能证明c^2=a^2+b^2-2*a*b*SinC 吗如果能证明写出求证过程

2024-12-20 05:39:56

推荐回答（1个）

回答1：

先过C点做AB的垂线，交点为D。设CD=e
所以sinA=e\b sinb=e\a
而a^2=b^2+c^2-2bcsinA
a^2=b^2+c^2-2bc(e\b)
a^2=b^2+c^2-2ce
b^2=a^2+c^2-2acsinB
b^2=a^2+c^2-2ac(e\a)
b^2=a^2+c^2-2ec
所以a^2-b^2=b^2-a^2
所以a=b
所以三角形ABC是等腰三角形，即角A=角B
又sinc=sin(180度-角A-角B)
=sin(A+B)
所以角C=A+B=2A
根据三角形内角和定理可知三角形ABC为等腰直角三角形，其角C为直角
又根据勾股定理可得c^2=a^2+b^2
又sinc=0所以a^2+b^2-2absinc=a^2+b^2
所以c^2=a^2+b^2-2absinc