已知实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝2求证，x＋y＋z≤xyz＋2？

由2x+2y+2z＝2=2*(x+y+z)，得x+y+z=1，当xyz都为实数时，xyz＞0，得xyz+2＞2，因为2＞1，所以x+y+z小于等于(小于等于等同于不大于)，所以x+y+z不大于xyz+2

分类讨论并使用均值不等式即可，详细过程如下请参考

想不出来的时候,用万能的拉格朗日乘数法.

若x,y,z中至少某个数为0,则由均值不等式易证原不等式成立.现假设x,y,z均不为0,且由於不等式的轮换性,可设x≤y≤z
设L=x+y+z-xyz+λ(x²+y²+z²-2)
令Lx=1-yz+2λx=0~~~①
Ly=1-xz+2λy=0~~~②
Lz=1-xz+2λz=0~~~③
Lλ=x²+y²+z²-2=0~~~④
①*y-②*x,得
y-y²z-x+x²z=0
y-x=(y+x)(y-x)z
同理,z-y=(z+y)(z-y)x,x-z=(x+z)(x-z)y
当x=y=z时,上述等式均成立,代入④中解得x=y=z=√6/3,此时x+y+z-xyz=7√6/9
当x=y≠z时,得z+x=1/x,z=1/x-x,代入④中解得x²=1(舍)或1/3,此时有x=y=√3/3,z=2√3/3,x+y+z-xyz=10√3/3
当x≠y=z时,解得x=-2√3/3,y=z=-√3/3,x+y+z-xyz=-10√3/3
当x≠y≠z时,易证方程组无解
比较各个极值可知(√3/3,√3/3,2√3/3)处有极大值10√3/3<2,因此x+y+z综上,原不等式成立,等号在x,y,z有一个为0时取得