一阶导数为零的点不一定是极值点,但是如果该点二阶导数不为零则一定

2025-01-24 09:25:53
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回答1:

如果x0点处的二阶导数不为0
设二阶导数为正
那么说明f(x)的一阶导数在x0点附近是增函数,
那么当x<x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,f(x)是减函数
当x>x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,f(x)是增函数
所以f(x)在x0点附近是左减右增,x0点是极小值点。
设二阶导数为负
那么说明f(x)的一阶导数在x0点附近是减函数,
那么当x<x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,f(x)是增函数
当x>x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,f(x)是减函数
所以f(x)在x0点附近是左增右减,x0点是极大值点。
所以上面是证明说明,一阶导数为0,而二阶导数不为0的点,一定是极值点。

回答2:

(1)y=x^3,在0点1阶导数、2阶导数都=0,但0不是它的极值点
(显然在0的任意邻域内都不是最大/最小值)
(2)二阶导不为零说明一阶导在该点附近的符号发生改变,所以一定是极值点
(二阶导>0说明一阶导在该点附近始终单增,而一阶导在该点又=0,
所以在该点左边一定一阶导<0,在该点右边一定一阶导>0,那么显然就是极值点了)

回答3:

不对