解答：（1）证明：如图，∵D是AB的中点，
∴AD=BD．
∵在△ACD与△BCD中，
，
AC＝BC AD＝BD CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）；
（2）解：如图，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，即∠A=45°；
（3）证明：如图1，∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
，
∠CAE＝∠BCG AC＝BC ∠ACE＝∠CBG
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；
（4）解：BE=CM．理由如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
，
∠BEC＝∠CMA ∠ACM＝∠CBE BC＝AC
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
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