求不定积分∫e^(-sinx)sin2x⼀sin(π⼀4-x⼀2)^4dx

 ∫e^(-sinx)sin(2x)dx/[sin(π/4-x/2)]^4

=∫e^(-sinx)sin(2x)dx/[sin²(π/4-x/2)]²

=8∫e^(-t)tdt/(1-t)² (令t=sinx)

=8∫e^(-t)[1/(1-t)²-1/(1-t)]dt

=8[∫e^(-t)dt/(1-t)²-∫e^(-t)dt/(1-t)]

=8{∫e^(-t)dt/(1-t)²-[-e^(-t)/(1-t)+∫e^(-t)dt/(1-t)²]}+C (应用分部积分法，C是任意常数)

=8e^(-t)/(1-t)+C

=8e^(-sinx)/(1-sinx)+C

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

解： ∫e^(-sinx)sin(2x)dx/[sin(π/4-x/2)]^4
=∫e^(-sinx)sin(2x)dx/[sin²(π/4-x/2)]²
=∫e^(-sinx)2sinx*cosxdx/[(1-cos(π/2-x))/2]² (应用倍角公式)
=∫e^(-sinx)2sinx*cosxdx/[(1-sinx)/2]² (应用诱导公式)
=8∫e^(-sinx)sinxd(sinx)/(1-sinx)²
=8∫e^(-t)tdt/(1-t)² (令t=sinx)
=8∫e^(-t)[1/(1-t)²-1/(1-t)]dt
=8[∫e^(-t)dt/(1-t)²-∫e^(-t)dt/(1-t)]
=8{∫e^(-t)dt/(1-t)²-[-e^(-t)/(1-t)+∫e^(-t)dt/(1-t)²]}+C (应用分部积分法，C是任意常数)
=8[∫e^(-t)dt/(1-t)²+e^(-t)/(1-t)-∫e^(-t)dt/(1-t)²]+C
=8e^(-t)/(1-t)+C
=8e^(-sinx)/(1-sinx)+C。