230问答网 > 已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 2 ，a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和为S n ，

已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 2 ，a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和为S n ，

2024-12-19 15:03:31

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回答1：

（1）因为a₂ ，a₅ 是方程x² -12x+27=0的两根且等差数列{a_n }的公差大于0，
所以解得a₂ =3，a₅ =9，所以公差 d=

a 5 - a 2

5-2

=2 ，所以a_n =a₂ +（n-2）d=2n-1．
当n=1时， b 1 = S 1 =

1- b 1

，解得 b 1 =

，
当n≥2时， b n = S n - S n-1 =

( b n-1 - b n ) ，
所以

b n

b n-1

(n≥2) ，所以数列{b_n }是以b₁ 为首项，公比 q=

的等比数列，
所以 b n = b 1 q n-1 = (

) n =

3 n

．
（2）由（1）知， c n = a n b n =

2n-1

3 n

，则数列{c_n }的前n项和为T_n ，
则 T n =

3 2

+…+

2n-1

3 n

①

T n =

3 2

3 3

+…+

2n-1

3 n+1

②
①-②得

T n =

3 2

3 3

+…+

3 n

2n-1

3 n+1

3 2

[1- (

) n-1 ]

2n-1

3 n+1

，
整理得 T n =1-

n+1

3 n+1

，因为n∈N^? ，所以

n+1

3 n+1

＞0 ，
故 T n =1-

n+1

3 n+1

＜1 ．