因为函数f（x）在闭区间[a，b]上连续并在开区间（a，b）内可导，
故对于任意a≤x1＜x2≤b，利用拉格朗日中值定理可得，
f（x1）-f（x2）=f′（ξ）（x1-x2），ξ∈（x1，x2）．
因为在（a，b）内f′（x）＞0，
故f（x1）-f（x2）＞0，
即：f（x1）＞f（x2），
从而f（x）在[a，b]上单调增加，选项B正确，选项C错误．
A、D也都是错误的．
A的反例：f（x）=x-2，0≤x≤1，f′（x）=1＞0，但是f（x）≤-1＜0．
D的反例：f（x）=x2，0≤x≤1，则在（0，1）内，f′（x）=2x＞0，但是f（x）为凹的．
综上，正确选项为B．
故选：B．
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