[高分奖励]概率论独立概念的问题.答得好追加奖励100

2025-02-26 04:04:03

推荐回答（4个）

回答1：

A和B是不互相影响的,对;但是,A和B不是相互独立的
只有满足P(AB)=P(A)*P(B)时才是相互独立的,
显然;例子中的事件不满足,

条件概率与独立性

一、条件概率

概念：对于两个事件A与B，如果P(A)>0,称P(B｜A)=P(AB)/P(A),为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.

古典概型中条件概率的计算:设试验E的基本事件总数为n,且所有基本事件的概率都相等,即样本空间Ω由n个等可能的样本点组成,有利于事件A及AB的基本事件数,即样本点数,分别为m个及k个(m>0),则由条件概率定义及古典概型概率公式,可得:

P(B｜A)=P(AB)/P(A)=k/n/m/n=k/m

例1：一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生产。现从该批产品中任意取一件，记A=“正品”，B=“甲生产的产品”，写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B｜A),P(A｜B)。（答案略）

例2：10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，抽取两个，如果已知第一个取到次品，计算第二个又取到次品的概率。（2/9）

二、乘法公式

乘法公式：对于两个事件A与B，如果P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B｜A);如果P(B)>0,则有P(AB)=P(B)P(A｜B)。

例3：对于三个事件A、B、C，假设P(AB)>0,求证P(ABC)=P(A)P(B｜A)P(C｜AB)（略）

例4：设试验E为投掷一颗骰子，事件A表示“奇数点”，B表示“点数大于1”，计算P(A),P(B),P(AB),P(B｜A),P(A｜B)。（略）

例5：10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，抽取两个产品，计算两次都取到次品的概率。（1/15）

例6：假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机亦未被击落，则再次进攻乙机，击落乙机的概率未0.4，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率。(甲为0.24,乙为0.424)

三、事件的独立性

定义1：如果两个事件A与B满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立。

推论1：设A与B为两个事件，P(B)>0,则A与B独立的充分必要条件是P(A｜B)=P(A).

推论2：设A与B为两个事件，则下列四对事件：A与B；（A补）与B，A与（B补），（A补）与（B补）中，只要有一对事件成立，其余三对也独立。

推论3：设两个事件A与B的概率都大于0且小于1，则下面四个等式等价，即其中任何一个成立，另外三个也一定成立：

P(B｜A)=P(B)

P(B｜A补)=P(B)

P(A｜B)=P(A)

P(A｜B补)=P(A)

定义2：两个事件A与B，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的。

例8：甲、乙二人各投蓝一次，设甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，求甲、乙二人至少有一人投中的概率。（0.94)

例9：一个袋内装有4个球，其中全红、全黑、全白色的球各一个，另一个是涂有红、黑、白三色的彩球。从中任取一个，记事件A、B、C分别表示取到的球上涂有红色、黑色、白色。试判断A与B的独立性。

定义3：设A1,A2,……,An为n个事件，如果对于任何正整数m(2≤m≤n)以及1≤i1
P(Ai1Ai2…Aim)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aim)

则称事件A1,A2,……,An为相互独立的。

如果上式仅对于m=2成立，称事件A1，A2，……，An为两两独立的。

定义4：设A1，A2，…，An为n个事件，如果它们中任何一个事件发生的概率都不受其余某一个或几个事件发生与否的影响，则称事件A1，A2,…,An是相互独立的。

推论1：设n个事件A1,A2,…,An相互独立，则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)

推论2：设n个事件A1,A2,…,An相互独立，则它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的。

定义5：设A1,A2,…,An,…为随机事件序列，如果它们中任何有限个事件都是相互独立的，则称该随机事件序列A1，A2，…，An，…为相互独立的

回答2：

首先,若满足P(AB)=P(A)P(B),则A,B事件互相独立.容易知道,若P(A)>0,P(B)>0 则A,B互相独立与互不相容[P(AB)=0]是不能同时成立的.这在概率书上有写的. 那么你说的A,B事件要么独立, 要么相容.显然,是不相容的,再来考虑独立性.

男性占人口比例0.5，即P(A)=0.5
富人占人口比例0.3，即P(B)=0.3
富人中大多数是男性，基本占了富人总数的0.8.则可表示为P(A|B)=0.8
而独立性的公式是这样推倒的:
在P(A|B)=P(A)的情况下才可推出P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)
而你题设中P(A|B)不等于P(A).所以独立性的条件是不存在的
所以二者不独立

所以我认为0.24的答案才是正确的.

你觉得呢?

回答3：

富人中大多数是男性
如果你有这个假设。
那么富人和男人就不是独立的了。他们是相关的。
所以你的推理就错在这里。

独立的定义就是
P（AB） = P（A）P（B）
有了这个，才是独立的。

回答4：

若男人和富人真是独立的，那么我们可以用它们的概率相乘没错。问题是，你说的是已经发生的事件，就是说0.8只是许多可能中的一种，但它发生了，它应属于1-0.5*0.3=0.85的可能当中。这0.85的可能中就有很多其它结果了。概率有时就是很迷人

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