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知 0＜α＜ π 2 ＜β＜π，cos(β- π 4 )= 1 3 ，sin(α+β)= 4 5

2025-01-25 07:16:47

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回答1：

（1）∵ 0＜α＜

π

2

＜β＜π，cos(β-

π

4

)=

1

3

，∴

2

2

cosβ+

2

2

sinβ =

1

3

，
∴cosβ+sinβ=

2

3

，又 cos² β+sin² β=1，解得sinβ=

2

2

3

．
（2）由（1）知，cosβ=-

1- sin 2 β

=-

1

3

，∴sin2β=2sinβcosβ=-

4

2

9

．
（3）由已知条件可得 β-

π

4

为锐角，α+β为钝角，∴sin（β-

π

4

）=

2

2

3

，cos（α+β）=-

3

5

，
∴ cos(α+

π

4

) =cos[（α+β）-（ β-

π

4

）]=cos（α+β）?cos（ β-

π

4

）+sin（α+β）?sin（ β-

π

4

）
=-

3

5

?

1

3

+

4

5

?

2

2

3

=

8

2

-3

15

．