圆C:X^2+Y^2-4X-14Y+45=0及点Q(-2,3).

（1）将(a,a+1)带入圆方程，得a=4.
所以点P坐标为（4，5）。
PQ斜率为三分之一。PQ=根号[(4+2)^2+(5-3)^2]=2根号10

(3)MQ|的最大值是Q到圆心的距离d再加上圆的半径；|MQ|的最小值是Q到圆心的距离d减去圆的半径。

x²+y²-4x-14y+45=0
(x-2)²+(y-7)²=(2根号2)²
圆心坐标是(2,7)，圆的半径是2根号2
Q到圆心的距离是：d=根号[(-2-2)²+(3-7)²]=4根号2
所以|MQ|的最大值是：4根号2+2根号2＝6根号2
|MQ|的最小值是：4根号2-2根号2＝2根号2

(4)k为直线斜率.
求直线与圆相切时直线的斜率即可,但有两个切线,取较大者;(较小者为最小直.)
x^2+y^2-4x-14y+45=0 ①
y-3=k(x+2) ②
消去y,得
(k^2+1)x^2+4(k^2-2k-1)x+4(k^2-4k+3)=0
有两个相同的根
16(k^2-2k-1)^2-16(k^2+1)(k^2-4k+3)=0
化简得
k^2-4k+1=0
取较大的根
k(max)=2+根号3
k(min)=2-根号3