230问答网 > a+b=1,且a、b为正数，则用柯西不等式证明[a+（1⼀a）]^2+[b+(1⼀b)]^2>=12.5

a+b=1,且a、b为正数，则用柯西不等式证明[a+（1⼀a）]^2+[b+(1⼀b)]^2>=12.5

2024-12-28 12:30:26

推荐回答（2个）

回答1：

如果一定要用柯西不等式的话，就这么做：
证明：由柯西不等式：(1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(a+1/a+b+1/b)^2=(1+1/a+1/b)^2
再用柯西不等式：(a+b)(1/a+1/b)>=(1+1)^2=4
所以1/a+1/b>=4
于是2[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(1+4)^2=25
上式即(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2
证毕。。

回答2：

如果是柯西不等式证明题，一般不是很难的题。过程一步列完，中间夹杂配凑,式子太长，看起来可能繁琐些，耐心看吧，请见谅！
[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2={[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2}(1+1)/2
≥[a+(1/a)+b+(1/b)]^2/2=[1+(1/a)+(1/b)]^2/2={1+[(1/a)+(1/b)(a+b)]}^2/2
≥[1+(1+1)^2]^2/2=(1+4)^2/2=12.5，等号成立的条件是a=b。证明完毕。
用柯西不等式做证明题，配凑合适的数字或简式是关键。