由于曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关
∴
＝?f(x，y) ?y
(xcosy)，即f′y=cosy? ?x
∴f（x，y）=siny+g（x），其中g（x）是只含有变量x的函数
又
f(x，y)dx+xcosydy＝
∫
f(x，0)dx+
∫
tcosydy=
∫
f(x，0)dx+tsint2=t2，
∫
∴上式对t求导，得
f（t，0）+sint2+2t2cost2=2t
即：f（t，0）=2t-sint2-2t2cost2
即：f（x，0）=2x-sinx2-2x2cosx2
又由f（x，y）=siny+g（x），知
f（x，0）=g（x）
∴g（x）=2x-sinx2-2x2cosx2
∴f（x，y）=siny+2x-sinx2-2x2cosx2
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