（一）图形的认识、测量
量的计量
一、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
二、长度单位：
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
1米=100厘米
1米=1000毫米
三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用面积单位：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
四、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
五、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。
六、面积单位：（100）
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
八、体积单位：（1000）
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升
平面图形【认识、周长、面积】
一、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。
二、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（°）。
三、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
四、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。
五、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
六、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。
七、三角形的内角和等于180度。
八、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
九、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
十、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。
十一、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
十二、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
十三、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
十四、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
十五、平面图形的面积计算公式推导：
【1】平行四边形面积公式的推导过程
①把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
②长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。
③因为：长方形面积=长×宽，所以：平行四边形面积=底×高。即：S=ah。
【2】三角形面积公式的推导过程
①用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
②平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半
③因为：平行四边形面积=底×高，所以：三角形面积=底×高÷2。 即：S=ah÷2。
【3】梯形面积公式的推导过程
①用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形
②平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半
③因为：平行四边形面积=底×高，所以：梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。
【4】画图说明圆面积公式的推导过程
①把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。
②长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆面积=πr×r=πr2。即：S=πr2
十六、平面图形的周长和面积计算公式：
长方形周长 =（长+宽）× 2
长方形面积 = 长 × 宽
正方形周长 = 边长 × 4
正方形面积 = 边长 × 边长
平行四边形面积 = 底 × 高
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
立体图形【认识、周长、面积】
一、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。
二、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。
三、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。
四、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。
五、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。
六、圆柱和圆锥三种关系：
①等底等高： 体积1︰3
②等底等体积：高1︰3
③等高等体积：底面积1︰3
七、等底等高的圆柱和圆锥：
①圆锥体积是圆柱的1/3，
②圆柱体积是圆锥的3倍，
③圆锥体积比圆柱少2/3，
④圆柱体积比圆锥多2倍。
八、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。
九、立体图形公式推导：
【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）
①圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。
②长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。
③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。
④圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。
正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？
①把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。
②长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。
③因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。即：V=Sh。
【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？
①找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
②将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。
③通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=1/3Sh。
十、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式：
名称
计算公式
长方体棱长总和
长方体棱长总和 = （长+宽+高）× 4
长方体表面积
长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
长方体体积
长方体体积=长×宽×高
正方体棱长总和
正方体棱长总和=棱长×12
正方体表面积
正方体表面积=棱长×棱长×6
正方体体积
正方体体积=棱长×棱长×棱长
圆柱体侧面积
圆柱体侧面积=底面周长×高
圆柱体表面积
圆柱体表面积=侧面积+底面积×2
圆柱体体积
圆柱体体积=底面积×高
圆锥体体积
圆锥体体积=
（二）图形与变换
一、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。
二、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。
三、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。
（三）图形与位置
一、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、后来描述具体位置。
二、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东……来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。
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空间与图形 一、综合练习
1．小学数学课程中的“空间与图形”仅仅是几何学中（初步的、简单的、浅显的，并且是小学生能够接受）的知识。充实（几何教学内容）已成为各国小学数学教材改革的共同趋势之一。
3．下列关于“空间与图形”的教学要求分别属于哪一方面的教学内容？ (将教学要求的编号填人下
表(表7—2))
表7—2空间与图形的教学内容和教学要求
教学内容 教学要求 图形的认识 A B I 测 量 C D G 图形与变换 E H 图形与位置 F J
A．认识常见的图形及其特征。
B．能根据图形的名称想象出该图形的表象。 C．建立长度与角度、面积与体(容)积等概念。
D．认识长度与角度、面积与体(容)积的计量单位，对其大小建立明确的观念。 E．认识平移、旋转和轴对称。
F．认识“上、下、左、右、前、后”和“东、南、西、北”的意义，并能用来描述物体的位置关系。
G．掌握常见的几何形体周长、面积和体积的计算公式。 H．能在方格纸上画平移、旋转90。或对称的图形。 I．会运用形体知识推理、计算和解决简单的实际问题。 J．能用数对表示物体的位置。
6．关于“空间与图形”的练习，大致包括哪几种类型?举例说明填在表7—3中。
表7—3空间与图形练习的类型
题型 例 推理判断题 图形的判定 这个纸片的形状是长方
形吗？为什么？
图形的性质 长方形有哪些特征？你
是怎么知道的？
图形的关系 平行四边形是轴对称图
形吗？为什么？
图形计数 N边形有多少条对角线？
计算题 长度和角度计算 N边形的n个内角的和是
多少度？
面积与体(容)积计算 求半径为r的圆的内接正
12边形的面积
画 图 画一长5cm、宽3cm的长
方形
操作题 制作模型 制作一个底面半径是
3cm、高是4cm的圆锥
测 量 测量并且计算教室内地
面的面积
其他操作题
二、填空题
7．一切图形都可以看作是（点 ）的集合。圆就是到（定点）的距离等于（定长）的（点）的集合。 9．“角的初步认识”，角具有（一个顶点和两条边）的结构。
13．确认长方形与正方形都是特殊的平行四边形，回忆平行四边形的（定义），明确平行四边形的（特征），研究长方形和正方形。
14．三角形，由三条线段围成的图形，称之为三角形。
三角形按角分类时，考察一批三角形，检验三角形中的每一个角是什么角，统计每个三角形中各有几个锐角、直角和钝角，并引导学生研究统计表中的数据，从中做出结论：
（1）每个三角形中都有（锐 ）角；
（2）每个三角形中都至少有（二）个（锐）角。
（3）每个三角形中可能有（直角或钝）角，也可能没有。如果有，只能有一个。
研究这些三角形如何分类，以及每类三角形的共同特点。定义锐角<直角、钝角>三角形，明确：一个三角形属于哪一种，要看这个三角形中（最大的角）是什么角。
15、“三角形的稳定性”是指三角形具有的这样的特性：如果三角形（三边的长度）给定了，那么这个三角形的（形状和大小）也就完全确定了。
16、下列各图中的阴影部分各表示什么三角形？
(1)锐角三角形或钝角三角形 (2)等腰直角三角形
(3)底腰不等的等腰三角形 (4)两直角边不等的直角三角形
17.认识长方体的特征，知道长方体是由6个（长方形的面）围成的。 18．对于长方体的性质“相对的两个面是完全相同的长方形，”可以凭（观察）、运用（直觉思维）得出；也可以用（实验）的方法。<量一量、比一比>得出；还应该运用（逻辑推理）的方法由“长方形的对边相等”、“如果两个长方形的长与宽分别相等，那么它们就是完全相同的长方形”推出。
19．对于“长方体有8个顶点、12条棱”，可用（逐个计数）或（按群计数）的方法数出；还应该让学生根据“长方体有6个面”、“每个面都有4个顶点和4条边”、“每条棱是2个面公有的边”、“每个顶点为3个面所公有”通过（推理计算）得出。
20．小学数学教科书里的各种体中： (1)（球）是由1个面围成的；
(2)（圆锥）是由2个面围成的； (3)（圆柱）是由3个面围成的； (4) （长方体）是由6个面围成的。
21．在小学数学课程中，要求掌握其计量方法的几何量有（长度和角度、面积和体<容>积）。 22．估计一个算式的得数叫做（估算）。估计一个量的大小叫做（估量）。（估算）和（估量）都需要观察和分析思考，并且运用（直觉）思维，利用已经积累的（经验）和（表象）。估量一条线段的长度也叫（估测）。常用的（估测）方法有（目测、步测和简易工具测量）。
23．“长方形的周长的计算” (1)明确（周长）的概念；
(2)从具体长方形计算周长的各种算式中选出一个，并由它归纳出（长方形的周长）的计算公式；
24．“圆的周长”，明确（圆的周长）概念，首先，认识到任何一个圆的周长总是直径的（三倍多一些）。建立（圆周率）的概念，并且进一步推出（圆周长）的计算公式。
25．直接计量法就是用（计量单位）直接去量（被量的量），得到表示（它是计量单位的多少倍）的数；间接计量法是先量（和被量的量有关）的其他的几个量，再按照（一定的公式）算出被量的量的大小。
27．知道圆面积公式
28．计算立体图形的表面积，实质上是计算一个(组合图形)的面积。只是计算其中每一部分的面积所需要的数据要从(原立体图形)的数据中去找或推算。
29．“体积”概念：物体的(占有的空间部分的大小)叫做这个物体的体积。 突出以下两点：
(1)如果两个物体的形状相同、大小相等，那么这两个物体的(体积)相等； (2)两个物体拼成的物体的体积等于(这两个物体的体积之和)。
30．体(容)积的计算，理解体(容)积的(概念)，认识常用的(体积)单位和(容积)单位，即(立方米、立方分米、立方厘米、升、和毫升)，熟悉它们之间的进率和换算。
31．长方体的体积计算
32．圆锥的体积计算，是在（圆柱）体积公式的基础上，知道（等底面积等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍）。33．“图形与变换”包括的内容有（轴对称、平移、旋转以及等积变换和这些知识的应用）。
34．认识到：一个平面图形是不是轴对称图形，取决于是否存在一条这样的直线：（当图形平面沿着这条直线对折时，直线两边的图形能完全重合），这样的直线叫做轴对称图形的（对称轴）。
35．当我们看到一个长方形有两条对称轴时，我们只能说（这个<或有些>长方形有两条对称轴）。 （1）（长不等于宽的长方形有2条对称轴）；（2）（长等于宽的长方形有4条对称轴）。
36．当我们看到一个平行四边形不是轴对称图形时，我们可以立即做出哪些判断?不经过论证，不能做出哪些判断?事实上，
(1) （有一个角是直角或邻边相等）的平行四边形是轴对称图形； (2) （不含直角并且邻边不等）的平行四边形不是轴对称图形。 37．上、下、左、右、前、后是用来表示物体的（位置关系）的词语。 (1)其中，（上、下）是以地球作为客观的统一的标准；
(2)用（前、后、左、右）表述两个物体的位置关系时，如果两个物体本身是有前、后、左、右的，则以这两个物体为标准；如果两个物体本身没有前后左右，则以（观察者）为标准。
38．从地球表面上的一点P，作地面的垂线，以及经线和纬线的切线，那么在这三条直线上，从点P出发的6条射线，分别表示点P的（上、下、东、南、西、北）。
39．绘制地图时，如不特别说明，那就是约定：（上北、下南、左西、右东）。 40、在表述物体的位置关系的词语中，（上、下、东、南、西、北）是根据某种客观标准定义的，跟被描述的物体和观察者无关；而（左、右、前、后）则与被描述的物体或观察者有关，所有这些表示位置关系的词语都只能用于人类聚集的（近地空间）。
41．物体在一条线上的位置可以用（1）个数来确定；在平面内的位置可以用（2）个数来确定。教学时，可以借助事例，使学生的（生活经验）上升为（数学知识）。
42、从不同的位置观察同一个物体，所看到的形状（一般不同）。
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