计算二重积分.∫∫根下｛（1-x^2-y^2）⼀(1+x^2+y^2)｝dσ,D：x＾2+y＾2<=ax的二重积分

化为极坐标，原式=∫[0->π/2]dθ∫[0->1] [(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) rdr

=π/2∫[0->1] (1/2)[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) dr²

第二类换元法

令t=[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2),解出r²=(1-t²)/(t²+1),dr²/dt=[(1-t²)/(t²+1)]'=-4t/(t²+1)²

r²∈[0，1] -> t∈[1,0]

=π/4∫[1->0] -4t²/(t²+1)²dt

=π∫[0->1] t²/(t²+1)²dt

=π∫[0->1] (t²+1)/(t²+1)²dt - ∫[0->1] 1/(t²+1)²dt

=π [(arctan1-arctan0) - (t/(1+t^2)+arctant)/2 | (0->1) ]

=π [π/4-(1/2+π/4-0-0)/2]

=π [π/8 - 1/4]

=π*（π-2）/8

其中用到了：

∫1/(1+t^2)^2dt=(t/(1+t^2)+arctant)/2+C

扩展资料

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。