第一题。已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC²
证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB
故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆
故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA
故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC²
第二题。已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m(0
解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M
不难证明：△ADE≌△GMF(AAS)
故：GF=AD=12,FM=DE=m
不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE²
故：EF=6+m²/12=AF
故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24
故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）]
(2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2
故：m=4√3
故：AF=EF=10
不难证明：△ADE∽△PAF
故：DE/AF=AD/AP
故：AP=10√3
故：BP＝10√3－12
第三题。在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC)
证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点
故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC
过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点
因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC
故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形
故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN
故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC
故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC
第四题。一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1
证明：过C作CM‖AB，交XY于M
故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ,
故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX
故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ)
故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[Y
第一题。已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC²
证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB
故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆
故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA
故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC²
第二题。已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m(0
解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M
不难证明：△ADE≌△GMF(AAS)
故：GF=AD=12,FM=DE=m
不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF，AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF)²+DE²=(AD-EF)²+DE²
故：EF=6+m²/12=AF
故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24
故：FH:HG=[m√(144＋m²）/24)/[12－m√(144＋m²）/24]=m√(144＋m²）/[288-m√(144＋m²）]
(2)FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[288-m√(144＋m²）]=1:2
故：m=4√3
故：AF=EF=10
不难证明：△ADE∽△PAF
故：DE/AF=AD/AP
故：AP=10√3
故：BP＝10√3－12
第三题。在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC)
证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点
故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC
过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点
因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC
故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形
故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN
故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC
故：(1/CE)+(1/BF)=CM/(BC•CQ)+BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]//BC²=6MN/BC²=3BC/BC²=3/BC
第四题。一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1
证明：过C作CM‖AB，交XY于M
故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ,
故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX
故：AZ/BZ＝YZ•MX/(MY•XZ)
故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[Y
第一题。已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC²
证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB
故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆
故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA
故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC²
第二题。已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m(0
解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M
不难证明：△ADE≌△GMF(AAS)
故：GF=AD=12,FM=DE=m
不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE²
故：EF=6+m²/12=AF
故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24
故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）]
(2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2
故：m=4√3
故：AF=EF=10
不难证明：△ADE∽△PAF
故：DE/AF=AD/AP
故：AP=10√3
故：BP＝10√3－12
第三题。在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC)
证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点
故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC
过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点
因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC
故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形
故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN
故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC
故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC
第四题。一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1
证明：过C作CM‖AB，交XY于M
故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ,
故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX
故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ)
故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[Y
回答者： qaz2455 - 门吏 三级 5-20 18:37
1、已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC²
证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB
故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆
故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA
故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC²
2、已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m(0
解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M
不难证明：△ADE≌△GMF(AAS)
故：GF=AD=12,FM=DE=m
不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE²
故：EF=6+m²/12=AF
故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24
故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）]
(2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2
故：m=4√3
故：AF=EF=10
不难证明：△ADE∽△PAF
故：DE/AF=AD/AP
故：AP=10√3
故：BP＝10√3－12
3、在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC)
证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点
故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC
过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点
因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC
故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形
故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN
故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC
故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC
4、一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1
证明：过C作CM‖AB，交XY于M
故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ,
故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX
故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ)
1、已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC²
证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB
故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆
故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA
故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC²
2、已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m(0
解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M
不难证明：△ADE≌△GMF(AAS)
故：GF=AD=12,FM=DE=m
不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE²
故：EF=6+m²/12=AF
故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24
故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）]
(2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2
故：m=4√3
故：AF=EF=10
不难证明：△ADE∽△PAF
故：DE/AF=AD/AP
故：AP=10√3
故：BP＝10√3－12
3、在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC)
证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点
故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC
过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点
因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC
故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形
故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN
故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC
故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC
4、一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1
证明：过C作CM‖AB，交XY于M
故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ,
故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX
故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ)
故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[YZ•MX /( MY•XZ)]=1
因为∠BDC=∠FGB,∠CBD公共，所以△BGF∽△BDC
所以有 BG/BD=BF/BC ,即BF*BD=BG*BC ....(1)
因为∠BDC=∠CEA,即∠BEF=∠BDA ,∠ABD公共，所以△BEF∽△BDA
所以有 BF/BA=BE/BD ,即BE*BA=BF*BD .....(2)
同理可以证明，△BFG∽△BCD
所以有 CF/BC=CG/CE ,即CG*BC=CE*CF ......(3)
同理可以证明，△CEA∽△CDF ,所以有CE/CD=CA/CF ,即CE*CF=CD*CA ......(4)
由(1)(2)两式得: BE*BA=BG*BC ,因为BG=BC-CG ,所以 BE*BA=BC²-CG*BC ......(5)
由(3)(5)两式得： BE*BA=BC²-CE*CF .......(6）
由(4)(6)两式得： BE*BA=BC²-CD*CA
所以 BE*BA+CD*CA=BC²
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024