不可以。
under the influence of 是指一个人在【被】外界物质的影响下。最常见的是用在受药物、酒精或不良因素的影响。 如：driving under the influence是指酒后或服药驾车。
with the influence of是中性的，不含贬义。
所以互换时要谨慎。
英语习惯表达就是这样说under the influence of，在...的影响下
没听说有用with the influence of这样使用的
under the influence of 一般指在什么什么的影响之后
with the influence of 一般是指伴随着什么什么的影响
都可以
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