如何证明一个函数在某一个点连续？

该点的左极限=右极限=函数在该点的函数值。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

扩展资料

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

绝对值函数也是连续的。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

另一个不连续函数的例子为符号函数。

上面的都不准确，你要注意分辨。

在你所希望证明的那一点x0
如果x有微小变化的时候，y也只有微小变化，也就是说

当x的增量趋于0的时候，y的增量也趋于0
（极限等于0）
就可以证明在这一点连续
这个证明方法是最具有广义的方法，适用范围最广

还有一种方法可以证明连续，那就是看当x趋于x0点的时候，f(x)是不是也趋于f(x0)，如果是，那么在x0点函数也连续。

以上方法是基于满足所有的必要条件来证明连续。

如果可以得到一些比连续更强的结论，那么也可以自然证明连续，比如证明在某一点可导，可微等等。

夹B定理只是一种常用的证明连续的方法，你只需要按照定义把这个式子先写出来，然后再决定用什么方法

具体的证明：（用d代表三角形delta ） 在微分学里，dx和delta x数值上是相等的
0<=|df|=|sin(x+dx)|-|sinx|
=2|sin(dx/2) * cos(x+dx/2)|
<=2|sin(dx/2)|
<=2*|dx|/2=|dx|
根据夹B定理，dx->0的时候,dy->了，所以sinx在某区间连续

你搞不明白的可能是第一到第二步
这里用到了积化和差公式:
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
这样你应该就明白了

如果这个函数在这一点的极限值与函数在这点的函数值相等，则它就在这个点连续。

在这点上有导数存在
记住：在单一的一个点上是不会有切线的，就不可能可导。可导一定连续，但连续不一定可导。例如：一个弧，在端点上只有向一个方才有切线。但他却连接着另一个方向也就是连续。

楼上证明出的是导数等于0吧
讨论连续性 应该直接算某点的左右极限是否存在 是否相等
当然推出导数存在 函数也连续 但是很麻烦吧