无锡市2008中考数学答案

2008年无锡市初中毕业暨高级中等学校招生考试
数学试题
注意事项：1．本试卷满分130分，考试时间为120分钟．
2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．
一、细心填一填（本大题共有12小题，15空， 每空2分，共30分．请把结果直接填在题中的横线上．）
1． 的相反数是 ，16的算术平方根是 ．
2．分解因式： ．
3．设一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，
则 ， ．
4．截至5月30日12时止，全国共接受国内外社会各界捐赠的抗
震救灾款物合计约3990000万元，这个数据用科学记数法可表示为
万元．
5．函数 中自变量 的取值范围是 ；
函数 中自变量 的取值范围是 ．
6．若反比例函数 的图象经过点（ ），则 的值为 ．
7．一射击运动员一次射击练习的成绩是（单位：环）：7，10，9，9，
10，这位运动员这次射击成绩的平均数是 环．
8．五边形的内角和为 ．
9．如图， ， ，则 ．
10．如图， 于 ，若 ，则 ．
11．已知平面上四点 ， ， ， ，
直线 将四边形 分成面积相等的两部分，
则 的值为 ．
12．已知：如图，边长为 的正 内有一边长为 的内接正
，则 的内切圆半径为 ．
二、精心选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内．）
13．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
14．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
15．下面四个图案中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）

A． B． C． D．
16．如图， 绕点 逆时针旋转 到 的位置，
已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
17．下列事件中的必然事件是（ ）
A．2008年奥运会在北京举行
B．一打开电视机就看到奥运圣火传递的画面
C．2008年奥运会开幕式当天，北京的天气晴朗
D．全世界均在白天看到北京奥运会开幕式的实况直播
18．如图， 分别为正方形 的边 ， ， ，
上的点，且 ，则图中阴影部分的面积
与正方形 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
三、认真答一答（本大题共有8小题，共64分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
19．解答下列各题（本题有3小题，第（1），（2）小题每题5分，第（3）小题3分，共13分．）
（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．

（3）如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）

20．（本小题满分6分）
如图，已知 是矩形 的边 上一点， 于 ，试说明： ．

21．（本小题满分7分）
如图，四边形 中， ， 平分 ， 交 于 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若点 是 的中点，试判断 的形状，并说明理由．

22．（本小题满分6分）
小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，小晶赢；点数之和等于7．小红赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．问他们两人谁获胜的概率大？请你用“画树状图”或“列表”的方法加以分析说明．

23．（本小题满分6分）
小明所在学校初三学生综合素质评定分 四个等第，为了了解评定情况，小明随机调查了初三30名学生的学号及他们的评定等第，结果整理如下：
学号 3003 3008 3012 3016 3024 3028 3042 3048 3068 3075
等第 A C B C D B A B B A

学号 3079 3088 3091 3104 3116 3118 3122 3136 3144 3154
等第 B B B C A C B A A B

学号 3156 3163 3172 3188 3193 3199 3201 3208 3210 3229
等第 C A B B A B C C B B
注：等第A，B，C，D分别代表优秀、良好、合格、不合格．
（1）请在下面给出的图中画出这30名学生综合素质评定等第的频数条形统计图，并计算其中等第达到良好以上（含良好）的频率．
（2）已知初三学生学号是从3001开始，按由小到大顺序排列的连续整数，请你计算这30名学生学号的中位数，并运用中位数的知识来估计这次初三学生评定等第达到良好以上（含良好）的人数．

24．（本小题满分8分）
已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为 ．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

25．（本小题满分9分）
在“5 12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000 和乙种板材12000 的任务．
（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30 或乙种板材20 ．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建 两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间 型板房和一间 型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：
板房型号 甲种板材 乙种板材 安置人数
型板房
54
26
5
型板房
78
41
8
问：这400间板房最多能安置多少灾民？

26．（本小题满分9分）
已知抛物线 与它的对称轴相交于点 ，与 轴交于 ，与 轴正半轴交于 ．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线 交 轴于 是线段 上一动点（ 点异于 ），过 作 轴交直线 于 ，过 作 轴于 ，求当四边形 的面积等于 时点 的坐标．

四、实践与探索（本大题共2小题，满分18分）
27．（本小题满分10分）
如图，已知点 从 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动，以 为顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且 ；以 为圆心， 为半径作圆．设点 运动了 秒，求：
（1）点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）当点 在运动过程中，所有使 与菱形 的边所在直线相切的 的值．

28．（本小题满分8分）
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

2008年无锡市初中毕业高级中等学校招生考试
数学试题参考答案及评分说明

一、细心填一填
1．6，4 2． 3．7，3 4． 5． ，
6．2 7．9 8．540 9．20 10．30 11． 12．
二、精心选一选
13．B 14．C 15．D 16．D 17．A 18．A
三、认真答一答
19．（1）解：原式 （4分）
． （5分）
（2）解：原式 ．
（4分）
当 时，原式 ． （5分）
（3）如图所示（答案不唯一） （3分）
20．解法一： 矩形 中， ， ， （2分）
． （4分）
， ， ． （5分）
． （6分）
解法二： 矩形 中， ． （2分）
， ， ． （4分）
（下同）
21．（1） ，即 ，又 ， 四边形 是平行四边形．
（2分）
平分 ， ， （3分）
又 ， ， ， ，
四边形 是菱形． （4分）
（2）证法一： 是 中点， ．
又 ， ， ， （5分）
， （6分）
， ．
即 ， 是直角三角形． （7分）
证法二：连 ，则 ，且平分 ， （5分）
设 交 于 ．
是 的中点， ． （6分）
， 是直角三角形． （7分）
22．解：列表如下：

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
或列树状图：

由表或图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故 （和为6） ， （和为7） ．
（和为6） （和为7）， 小红获胜的概率大．
评分说明：列表正确或画对树状图得3分，两个概率每求对一个得1分，比较后得出结论再得1分．
23．解：（1）评定等第为 的有8人，等第为 的有14人，等第为 的有7人，等第为 的有1人，频数条形统计图如图所示．
等第达到良好以上的有22人，
其频率为 ．
（2）这30个学生学号的中位数是3117，
故初三年级约有学生 人，
，
故该校初三年级综合素质评定达到良好以上的人数估计有171人．
评分说明：第（1）小题画图正确得2分，频率算对得1分；第（2）小题中位数算对得1分，估计出学生总数得1分，最后得出结论得1分．
24．解：（1）如图1； （3分）
（2）如图2； （6分）
（3）4． （8分）
25．解：（1）设安排 人生产甲种板材，
则生产乙种板材的人数为 人．
由题意，得 ， （2分）
解得： ．经检验， 是方程的根，且符合题意． （3分）
答：应安排80人生产甲种板材，60人生产乙种板材． （4分）
（2）设建造 型板房 间，则建造 型板房为 间，
由题意有： （6分）
解得 ． （7分）
又 ， ．
这400间板房可安置灾民 ． （8分）
当 时， 取得最大值2300名．
答：这400间板房最多能安置灾民2300名． （9分）
26．解：（1）由题意，知点 是抛物线的顶点，
（2分）
， ， 抛物线的函数关系式为 ． （3分）
（2）由（1）知，点 的坐标是 ．设直线 的函数关系式为 ，
则 ， ， ． （4分）
由 ，得 ， ， 点 的坐标是 ．
设直线 的函数关系式是 ，
则 解得 ， ．
直线 的函数关系式是 ． （5分）
设 点坐标为 ，则 ．
轴， 点的纵坐标也是 ．
设 点坐标为 ，
点 在直线 上， ， ． （6分）
轴， 点的坐标为 ，
， ， ，
， （7分）
， ， ，当 时， ，
而 ， ，
点坐标为 和 ． （9分）
四、实践与探索
27．解：（1）过 作 轴于 ，
， ，
， ，
点 的坐标为 ． （2分）
（2）①当 与 相切时（如图1），切点为 ，此时 ，
， ，
． （4分）
②当 与 ，即与 轴相切时（如图2），则切点为 ， ，
过 作 于 ，则 ， （5分）
， ． （7分）
③当 与 所在直线相切时（如图3），设切点为 ， 交 于 ，
则 ， ，
． （8分）
过 作 轴于 ，则 ，
，
化简，得 ，
解得 ，
，
．
所求 的值是 ， 和 ． （10分）
28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
（3分）（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设 ，则 ， ．
由 ，得 ，
， ，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）
或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ， 是 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则 ， ， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的 去覆盖边长为30的正方形 ，设 经过 ， 与 交于 ，连 ，则 ，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形 ．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）
评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．