证明有理数乘无理数仍然是无理数。

有理数是指可表示成两个整数的商的式子的数。

设有理数为a/b，无理数为c

如果c+-a/b=d/e

c=d/e+-a/b

右式可通过通分表示成两个整数的商的式了，也就是说右边是有理数，而c是无理数，两边不可能相等，所以假设不成立，也就是说无理数加减有理数得到的数仍然是无理数。

简介

整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

可利用反证法，要用到有理数和无理数的定义。
整数和分数统称有理数，也就是说对一个有理数必可表为a/b其中a、b是某个整数，反之不能这样表示的就是无理数。

Proof: Assume x is a rational number and y is a irrational number,
then there exist two integers a,b that x=a/b.
The product of x,y is z=xy=ay/b. (1)
If z is a rational number, then there exist two integer c,d that z=c/d(2)
from(1)(2) we get ay/b=c/d ,that is y=bc/ad.
As we know, a,b,c,d are all integers , which make y must be a rational number,that is a contravention.
Thus, z must be a irrational number.