请问什么是完全平方数？

完全平方数
九章出版社提供

(一)完全平方数的性质

　　一个数如果是另一个整数的完全平方，那麼我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

　　观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

　　性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

　　性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

　　证明　奇数必为下列五种形式之一：

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分别平方后，得

　　(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1

　　(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9

　　(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

　　(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

　　(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

　　性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明　已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，於是可设m=10n+4或10n+6。则

10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

或　10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

即　k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或　k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴　k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那麼这个数一定不是完全平方数。

　　推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为　(2k+1)=4k(k+1)+1

　　　　　(2k)=4

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到：

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面关於个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：

一个数的数字和等於这个数被9除的余数。

下面以四位数为例来说明这个命题。

设四位数为，则

　= 1000a+100b+10c+d

　　　　 = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

　　　　 = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。

对於n位数，也可以仿此法予以证明。

关於完全平方数的数字和有下面的性质：

　　性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明　因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

　　性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

证明　充分性：设b为平方数，则

==(ac)

必要性：若为完全平方数，=，则

　　性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。

证明　由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

　　性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若


则k一定不是完全平方数。

性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

(二)重要结论

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；　

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

(三)范例

　　[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

　　解：设此自然数为x，依题意可得

(m,n为自然数)

(2)-(1)可得　

　∴n>m

(

但89为质数，它的正因数只能是1与89，於是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

　　[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等於一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

　　分析　设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证

是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

　　证明　设这四个整数之积加上1为m，则

　　

　　　

　　　

　　　

　　　

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

　　[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

　　分析　形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

　或　

在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

　　证明　若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

综上所述，不可能是完全平方数。

　　另证　由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

　　[例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。

　　证明　

　　　　　=

　　　　　=++1

　　　　　=4+8+1

　　　　　=4()(9+1)+8+1

　　　　　=36 ()+12+1

　　　　　=(6+1)

即为完全平方数。

[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？

解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600

3｜600　∴3｜A

此数有3的因数，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。

[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。

解：设此数为

此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

直接验算，可知此数为7744=88。

[例7]：求满足下列条件的所有自然数：

(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数。

解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

11｜N - 4或11｜N + 4

或

k = 1　　

k = 2　　

k = 3　

k = 4　

k = 5　　

所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

　　[例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？

　　解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

　　[例9]：矩形四边的长度都是小於10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。

　　解：设矩形的边长为x,y，则四位数

∵N是完全平方数，11为质数　∴x+y能被11整除。

又　,得x+y=11。

∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。

　　[例10]：求一个四位数，使它等於它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。

　　解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。

　　[例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。

　　解：显然，。为了便於估计，我们把的变化范围放大到，於是，即。∵，∴。

另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得

故所求的自然数n = 27。

(四)讨论题

1.(1986年第27届IMO试题)

设正整数d不等於2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。

2.求k的最大值

(
)完全平
数
性质
数
另
整数
完全平
麼我
称
数
完全平
数
叫做平
数
例
：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察
些完全平
数
获
位数、十位数、数字
等
规律性
认识
面我
研究完全平
数
些
用性质：
性质1：完全平
数
末位数
能
0,1,4,5,6,9
性质2：奇数
平
位数字
奇数
十位数字
偶数
证明
奇数必
列五种形式
：
10a+1,
10a+3,
10a+5,
10a+7,
10a+9
别平
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20
(5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20
(5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20
(5a+9a+4)+1
综
各种情形
知：奇数
平
位数字
奇数1,5,9；十位数字
偶数
性质3：
完全平
数
十位数字
奇数
则
位数字
定
6；反
完全平
数
位数字
6
则
十位数字
定
奇数
证明
已知=10k+6
证明k
奇数
位数
6
所
m
位数
4或6
於
设m=10n+4或10n+6
则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或
10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即
k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或
k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴
k
奇数
推论1：
数
十位数字
奇数
位数字
6
麼
数
定
完全平
数
推论2：
完全平
数
位数字
6
则
十位数字
偶数
性质4：偶数
平
4
倍数；奇数
平
4
倍数加1
(2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数
平
8n+1型；偶数
平
8n或8n+4型
性质4
证明
由k(k+1)
定
偶数
(2k+1)
8n+1型
数；由
奇数或偶数
(2k)
8n型或8n+4型
数
性质6：平
数
形式必
列两种
：3k,3k+1
自
数
3除按余数
同
三类：3m,3m+1,
3m+2
平
别
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理
：
性质7：
能
5整除
数
平
5k±1型
能
5整除
数
平
5k型
性质8：平
数
形式具
列形式
：16m,16m+1,
16m+4,16m+9
除
面关於
位数
十位数
余数
性质
外
研究完全平
数各位数字
例
256
各位数字相加
2+5+6=13
13叫做256
各位数字
再
13
各位数字相加：1+3=4
4
叫做256
各位数字
面我
提
数
各位数字
指
各位数字相加
数字
位数
所
数字再相加
直
位数
止
我
面
命题：
数
数字
等於
数
9除
余数
面
四位数
例
说明
命题
设四位数
则
=
1000a+100b+10c+d
=
999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=
9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显
a+b+c+d
四位数
9除
余数
於n位数
仿
予
证明
关於完全平
数
数字
面
性质：
性质9：完全平
数
数字
能
0,1,4,7,9
证明
整数
9除
能
9k,9k±1,
9k±2,
9k±3,
9k±4
几种形式
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除
几条性质
外
列重要性质：
性质10：
完全平
数
充要条件
b
完全平
数
证明
充
性：设b
平
数
则
==(ac)
必要性：若
完全平
数
=
则
性质11：
质数p能整除a
能整除a
则a
完全平
数
证明
由题设
知
a
质
数p
数
知a
解
标准式
p
1
完全平
数
解
标准式
各质
数
均
偶数
见a
完全平
数
性质12：
两
相邻
整数
平
数
间
所
整数都
完全平
数
即若
则k
定
完全平
数
性质13：
整数n
完全平
数
充
必要条件
n
奇数
数(包括1
n本身)
(二)重要结论
1.
位数
2,3,7,8
整数
定
完全平
数；
2.
位数
十位数都
奇数
整数
定
完全平
数；
3.
位数
6
十位数
偶数
整数
定
完全平
数；
4.形
3n+2型
整数
定
完全平
数；
5.形
4n+2
4n+3型
整数
定
完全平
数；
6.形
5n±2型
整数
定
完全平
数；
7.形
8n+2,
8n+3,
8n+5,
8n+6,8n+7型
整数
定
完全平
数；
8.数字
2,3,5,6,8
整数
定
完全平
数
(三)范例
[例1]：
自
数减
45及加
44都仍
完全平
数
求
数
解：设
自
数
x
依题意
(m,n
自
数)
(2)-(1)
∴n>m
(
89
质数
数
能
1与89
於
解
n=45
代入(2)
故所求
自
数
1981
[例2]：求证：四
连续
整数
积加
1
等於
奇数
平
(1954
基辅数
竞赛题)
析
设四
连续
整数
其
n
整数
欲证
奇数
平
需
通
式
解
变
奇数
平
即
证明
设
四
整数
积加
1
m
则
n(n+1)
两
连续整数
积
所
偶数；
2n+1
奇数
n(n+1)+2n+1
奇数
证明
m
奇数
平
[例3]：求证：11,111,1111,
串数
没
完全平
数(1972
基辅数
竞赛题)
析
形
数若
完全平
数
必
末位
1或9
数
平
即
或
两端同
减
1
即
推
矛盾
证明
若
则
左端
奇数
右端
偶数
所
左右两端
相等
若
则
左端
奇数
右端
偶数
所
左右两端
相等
综
所述
能
完全平
数
另证
由
奇数知
若
完全平
数
则
能
奇数
平
已证
奇数
平
其十位数字必
偶数
十位
数字
1
所
完全平
数
[例4]：试证数列49,4489,444889,
每
项都
完全平
数
证明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36
()+12+1
=(6+1)
即
完全平
数
[例5]：用300
2
若干
0组
整数
没
能
完全平
数
解：设由300
2
若干
0组
数
A
则其数字
600
3｜600
∴3｜A
数
3
数
故9｜A
9｜600
∴矛盾
故
能
完全平
数
[例6]：试求
四位数
完全平
数
并且
前两位数字相同
两位数字
相同(1999
数
世界邀请赛试题)
解：设
数
数
完全平
则必须
11
倍数
11｜a
+
b
a,b
0,1,2,9
故共
(2,9),
(3,8),
(4,7),(9,2)等8组
能
直接验算
知
数
7744=88
[例7]：求满足
列条件
所
自
数：
(1)
四位数
(2)
22除余数
5
(3)
完全平
数
解：设
其
n,N
自
数
知N
奇数
11｜N
-
4或11｜N
+
4
或
k
=
1
k
=
2
k
=
3
k
=
4
k
=
5
所
自
数
1369,
2601,
3481,
5329,
6561,
9025
[例8]：甲、乙两
合养
n
羊
每
羊
卖价
恰
n元
全部卖完
两
钱
：先由甲拿十元
再由乙拿十元
轮流
拿
剩
足十元
轮
乙拿
平均
配
甲应该补给乙
少元(第2届
祖冲
杯
初
数
邀请赛试题)
解：n
羊
总价
元
由题意知元
含
奇数
10元
即完全平
数
十位数字
奇数
完全平
数
十位数字
奇数
则
位数字
定
6
所
末位数字
6
即乙
拿
6元
平均
配
甲应补给乙2元
[例9]：矩形四边
度都
於10
整数(单位：公
)
四
度数
构
四位数
四位数
千位数字与百位数字相同
并且
四位数
完全平
数
求
矩形
面积(1986
缙云杯初二数
竞赛题)
解：设矩形
边
x,y
则四位数
∵N
完全平
数
11
质数
∴x+y能
11整除
,
x+y=11
∴∴9x+1
完全平
数
验算知x=7满足条件
由x+y=11
[例10]：求
四位数
使
等於
四
数字
四
并证明
数
唯
解：设符合题意
四位数
则
∴
五位数
三位数
∴
经计算
其
符合题意
2401
[例11]：求自
数n
使
值
由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组
解：显
便於估计
我
变化范围放
於
即
∵
∴
另
面
已知九
数码
3
倍数
故及n都
3
倍数
n
24,27,30三种
能
30结尾
六
0
故30
合要求
经计算
故所求
自
数n
=
27
(四)讨论题
1.(1986
第27届IMO试题)
设
整数d

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

完全平方数是指：一个自然数与其本身相乘的积，称为这个数的完全平方数。举例：25、49、100、169等等都是完全平方数。