关于二重积分对称性时,谁能给我简单说一下?被积函数是xy,且已知D关于y轴对称,为什么它的积分是0

2024-12-16 06:50:46
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回答1:

根据定积分的性质:如果积分区域关于x=0对称,且被积函数关于x为奇函数,那么积分等于0。对y同理。所以,f(x)=y*x是关于x的奇函数,积分区域D关于y轴即x=0对称,所以积分等于0。 

二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分。

扩展资料:

积分的轮换对称性:

对于曲面积分,积分曲面为u(x,y,z)=0,如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后,u(y,z,x)仍等于0,即u(y,z,x)=0, 那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS;

将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后,u(y,x,z)=0,在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS;

如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后,u(z,x,y)=0,那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ,同样可以进行多种其它的变换。

回答2:

注意定积分的性质:如果积分区域关于x=0对称,且被积函数关于x为奇函数,那么积分等于0。对y同理。
回到你的题目:f(x)=y*x是关于x的奇函数,积分区域D关于y轴即x=0对称,所以积分等于0。
至于这个性质的证明,分区间使用换元法即可。