定积分F(x)=∫e^sint sintdt,则F(x)为？ A 正常数 B 负数 C恒为零 D

因为是从x到x＋2pi内积分，所以dF（x）／dx＝0

可以判定F（x）为常数

令x＝0，则F（0）＝∫（0，2pi）sint＊e＾sintdt

＝－∫（0，2pi）e＾sintdcost

＝∫（0，2pi）［（cost）＾2］e＾sintdt（积分上限为2pi，下限为0）

函数f（t）＝［（cost）＾2］e＾sint恒大于等于0，所以在（0，2pi）内的积分大于零

于是F(0)>0

所以F(x)=F(0)>0

积分就是累加，把一堆大于等于零的数累加，只要其中有一个大于零的数，结果就大于零f（t）只有在cost＝0的时候才等于零，也就是只在t＝pi／2和t＝3pi／2时等于0。

其他的时候都大于零，所以此函数对t积分大于零。

扩资资料

定积分的定义：

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

①被积函数为周期为2π的周期函数，积分区间的长度为2π，即一个周期，
根据周期函数的积分性质，
这个积分与积分区间无关，
所以，是常数。
②既然与区间无关，
可以改变积分区间为
[-π，π]
原积分=∫(-π→π)e^sint·sintdt
=∫(-π→0)e^sint·sintdt+∫(0→π)e^sint·sintdt
【对第一个积分作换元：t=-u】
=∫(0→π)[e^sint-e^(-sint)]·sintdt
＜0
【0＜t＜π时，e^sint＜e^(-sint)】

所以，是负常数，选B

选A，详情如图所示

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