设A为列满秩矩阵,AB=C,证明线性方程BX＝0与CX＝0同解。

首先, 若X是BX = 0的解, 则CX = ABX = 0, 即X也是CX = 0的解.

反之, 若X是CX = 0的解, 有ABX = CX = 0, 即Y = BX是AY = 0的解.

而由A列满秩, AY = 0只有零解, 故BX = Y = 0, 即X也是BX = 0的解。

综合两方面, BX = 0与CX = 0同解。

还有一种方法:

由A列满秩可得r(B) ≥ r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n = r(B) (n表示A的列数), 故r(C) = r(AB) = r(B)。

因此BX = 0与CX = 0解空间维数相等，又易见前者的解空间包含于后者, 因此二者解空间相同。

扩展资料

举例：

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，秩r(A)=n，证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解：

设α是齐次方程组Bx=0的解，则Bα=0．那么ABα=A(Bα)=A0=0，即α是方程组ABx=0的解．

若α是齐次方程组ABx=0的解，则ABα=0，那么Bα是齐次方程组Ax=0的解。因为秩r(A)=n，所以Ax=0只有0解，故Bα=O，从而α是齐次方程组Bx=0的解，因此ABx=0与Bx=0同解。

因为AB=C,所以ABX=CX
又因为A为列满秩矩阵,所以当BX＝0时,CX＝0,
当CX＝0时,BX＝0
所以线性方程BX＝0与CX＝0同解

Bx=0
则
ABx=0
所以
BX=0
的解都是
CX=0
的解.
反之.
若
ABx=0
则
Bx
是
AX=0
的解
因为A列满秩
所以
Bx=0
所以
CX=0
的解是
BX=0
的解.

证：因为AB=C，在两边同时乘以向量X，有ABX=CX，当CX=0时，ABX=0，因为为列满秩矩阵，所以可看成A=(a1,a2,a3,……,an)a1,a2……an线性无关,ABX=0可得：（a1,a2,a3……，an)BX=0，显然，BX=0.