线性代数，矩阵合同的 必要 充分和 充要 条件？

矩阵合同是线性代数里的定义，其中两矩阵合同的充分必要条件为： 实对称矩阵A合同B的充要条件是：二次型P'AP与P'BP有相同的正、负惯性指数。 P'为矩阵P的倒置矩阵。

两矩阵合同的充分条件为： 实对称矩阵A合同B的充分条件是：A~B。因为若A~B，则A，B具有相同的特征值，从而二次型矩阵、具有相同的标准形，即P'AP与P'BP有相同的正负惯性指数，从而A与B合同。

两矩阵合同的必要条件为：A与B合同的必要条件是r(A)=r(B)。

两矩阵合同的定义：

设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得

P'AP=B

则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

扩展资料：

合同矩阵的性质：

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

参考资料来源：百度百科-合同矩阵

1、两矩阵合同的充分必要条件： 实对称矩阵A合同B的充要条件是二次型有相同的正、负惯性指数。 

2、两矩阵合同的充分条件： 实对称矩阵A合同B的充分条件是：A与B相似。

3、两矩阵合同的必要条件： A与B合同的必要条件是r(A)=r(B)，矩阵秩相等。

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。

扩展资料：

合同关系是一个等价关系，满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：

1、设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

2、设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

参考资料来源：百度百科—合同矩阵

补充三个细节。
一，如果不指明实对称的话，相似不一定合同。惯性指数相等的这个合同判别法，只适用于两个实对称矩阵。换句话说，两个秩相等的同形矩阵（未指明实对称），即使特征值完全相同，也不一定合同。比如2阶方阵A=(1,0;0,1) 和B＝(1,1;1,0)，它们之间实际上是找不到这样一个变换矩阵P，使得P'AP＝B，因此虽然相似但并不合同。
二，为什么实对称矩阵之间相似必合同呢？因为实对称矩阵必然可由正交矩阵进行相似对角化，从而相似于同一个对角矩阵。又正交矩阵C具有如下性质：C的逆＝C的转置。因此可以将式子改写为合同的定义式。
三，两矩阵的特征值相同只是相似的必要非充分条件。因为不一定两个矩阵都能相似对角化，这样的话就无法以相同对角矩阵作为媒介来连接两个相似定义式。换句话说，如果不能得到两个相同结果的相似对角化，就无法根据特征值相同来得到一个相似关系。

简单分析一下即可，答案如图所示

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