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已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有 f(m+n)=f(m)+f(n)+ 1 2 ，且 f( 1 2
已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有 f(m+n)=f(m)+f(n)+ 1 2 ，且 f( 1 2
2024-12-29 19:43:37
推荐回答（1个）
回答1：
（1）f（1）=f（
1
2
）+f（
1
2
）+
1
2
=0+0+
1
2
=
1
2
，（2分）
（2）∵f（2）=f（1）+f（1）+
1
2
=3×
1
2
，
f（3）=f（2）+f（1）=5×
1
2
，…
f（n）=（2n-1）×
1
2
，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=
1
2
（1+3+5+…（2n-1））=
1
2
n
2
（7分）
（3）f（x）=（ 2x-1）×
1
2
=x-
1
2
，在其定义域内是增函数，
证明：设 a＜b，f（b）-f（a）=（b-
1
2
）-（a-
1
2
）=b-a，由题设知，b-a＞0，
∴f（b）-f（a）＞0，f（b），＞f（a），∴f（x）在其定义域内是增函数．
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