最小角定理的证明

1．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明．

2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力．

3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．

教学重点与难点

重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用．

教学过程设计

一、激发兴趣引入课题

通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．

二、勾股定理的探索，证明过程及命名

1．猜想结论．

勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.

教师用计算机演示：

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b和 c， ∠ACB＝ 90°，使△ABC运动起来，但始终保持∠ACB＝90°，如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等．

（2）在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约7～8个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想．

（3）对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证．

2．证明猜想．

目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3－151）来进行证明．

立体几何里面的吗？如果是的话，我简单跟你说说。
证明1.根据空间角的余弦公式（这个很容易推导）：线面角(与平面所成的那个角)theta，
斜线角（线-线角）alpha，射影交角（正射影与斜射影夹角）beta有简单余弦关系
cos(alpha)=cos(beta)cos(theta)，于是cos(alpha)≤cos(theta)，由单调性可知，theta≤alpha。因此，theta是最小角。
证明2.如果能说明最小角是存在且唯一的，就能证明，斜线与平面所成的那个角是最小的（其实，它就是唯一的，至少是有穷多个，但是欧氏空间是连续的，不允许间断跳跃，故只能唯一）。这是因为由对称性可知，如果它不是最小的，那么在直线左右有两个对称相等的角，如果最小角是这个，那么说明有两个最小角度。但是根据欧几里得空间和平面的连续性，这样的“最小角”有无穷多个，显然不对。
没有上图，见谅。。。

立体几何书上MS有证明吧！