韦达定理是什么?

在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用：

1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。

2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。

3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。

4. 一元二次方程的验根。

5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。

6. 与判别式的综合应用。

【典型例题】

例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。

解：设另一个根为x则相加，得x

　

例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x，x，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和

解：∵

又

∴代入得，

∴新方程为

例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？

解：∵二次实数方程实根共轭。

∴若是，则另一根为

∴，。

∴以为根的一元二次方程即为.

例4：解方程组

解：设

∴.

∴A=5.

∴x-y=5

又xy=-6.

∴解方程组

∴可解得

　

例5：已知RtABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值

解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。

则2。

又a，b为方程两根。

∴ab=4m（m-2）

∴S

但a，b为实数且

∴

∴

∴m=5或6

当m=6时，

∴m=5

∴S.

例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根

① 均为正数 ②均为负数 ③一个正数，一个负数 ④一根为零 ⑤互为倒数

解：①∵

∴m>7

②∵

∴不存在这样的情况。

③

∴m<7

④

∴m=7

⑤

∴m=15.但使

∴不存在这种情况

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于

2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=

3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（ ）

A．±8 B.8 C.－8 D.±4

4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？

5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。

6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。

7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。

【试题答案】

1. －1 2. 4，1 3. A 4. a=1或13

5. －3≤a≤－2 提示：分a=－3以及a≠－3讨论求解

6. 13

设一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2
则根据求根公式知:xi=［-b+√(b＾2-4ac)］/2a =-b+√△(△是根的判别式)
x2=［-b-√(b＾2-4ac)］/2a =-b-√△
∴x1+x2=(-b+√△-b-√△)/2a=-b/a
x1×x2=(-b)＾2-(b＾2-4ac)/4a＾2=4ac/4a＾2=c/a
这就是韦达定理.他表示一元二次方程根与系数的关系.在解一元二次方程题目中得到广泛应用.

方程ax^2+bx+c=0[a不等于0]
则x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a