如何证明x^3+Y^3=Z^3没有正整数解

X^3+Y^3=Z^3
证:
因为X1=(2mn)^2/n
Y1=(m^2-n^2)^2/n
Z1=(m^2+n^2)^2/n
当仅当2/n=1,有正整数解.
设X1,Y1,Z1分别是不定方程 X^n+Y^n=Z^n的一组解.

1) 当n=2时,即2/n=2/2=1

X1=(2mn)^2/2=2mn
Y1=(m^2-n^2)^2/2=m^2-n^
Z1=(m^2+n^2)^2/2=m^2+n^2
代入原方程得

左边=(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4
右边=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4
因为 左边=右边
所以有正整数解!
2) 当n≥3,时
因为
X1=(2mn)^2/n
Y1=(m^2-n^2)2/n
Z1=(m^2+n^2)^2/n
由于A^2+B^2=C^2,有正整数解必须符合勾股数

a=2mn,b=m^2-n^2,c=m^2+n^2,m,n是正整数,m>n,即2/n=1.n=1,2,3...

且:原不定方程与下列不定方程等价:

即 (√X^n)^2+(√Y^n)^2=(√Z^n)^2,注:此方程仍然是勾股方程
因此当n≥3之后,2/n＜1,即此时不定方程没有符合勾股数的解.

所以当n≥3之后不定方程

X^n+Y^n=Z^n,无XYZ≠0的正整数解.

因为X1=(2mn)^2/n
Y1=(m^2-n^2)^2/n
Z1=(m^2+n^2)^2/n
当仅当2/n=1,有正整数解.
设X1,Y1,Z1分别是不定方程 X^n+Y^n=Z^n的一组解.

1) 当n=2时,即2/n=2/2=1

X1=(2mn)^2/2=2mn
Y1=(m^2-n^2)^2/2=m^2-n^
Z1=(m^2+n^2)^2/2=m^2+n^2
代入原方程得

左边=(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4
右边=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4
因为 左边=右边
所以有正整数解!
2) 当n≥3,时
因为
X1=(2mn)^2/n
Y1=(m^2-n^2)2/n
Z1=(m^2+n^2)^2/n
由于A^2+B^2=C^2,有正整数解必须符合勾股数

a=2mn,b=m^2-n^2,c=m^2+n^2,m,n是正整数,m>n,即2/n=1.n=1,2,3...

且:原不定方程与下列不定方程等价:

即 (√X^n)^2+(√Y^n)^2=(√Z^n)^2,注:此方程仍然是勾股方程
因此当n≥3之后,2/n＜1,即此时不定方程没有符合勾股数的解.

所以当n≥3之后不定方程

X^n+Y^n=Z^n,无XYZ≠0的正整数解

兄弟啊，这是费马大定理中的一个特殊情况，现在这个定理已经被一个英国的数学家证明了。原定理是：x^n+y^n=z^n只有顶n=2是有正整数解。

你可以看看怀尔斯对费马最后定理的证明~~
哈哈

这是费马最后定理的特例

2000年已被解决

柯西曾经证明过若干特例，不过似乎也曾有不严格之处，我不是数学大师，可不会啊

一楼就是复制的，只要他对，能帮提问者解决问题，就应该得分，“知道”就是要知“道”的人告诉教会暂时还不知“道”的人，大家共同进步吗。